Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
из которого следует, что при ц - 0
а = а0 = -4±1/^-|-. (ИЗ)
Для согласования с формулой (110) следует выбрать здесь верхний знак. При
таком выборе уравнение (112) эквивалентно уравнению
rja'= - 112- 6a - 2а, (114)
где при вычислении квадратного корня полагается, что разрез в комплексной
плоскости сделан по отрицательной действительной полуоси.
Нетрудно видеть, что при больших ц уравнение (114) имеет решение a = -arj
-f- ip/rj. Значение коэффициента а не зависит от величины ^i2 и
определяется непосредственно из уравнения (114): a = 1/3. Для определения
коэффициента |3 приходится использовать численный счет, который
показывает, в частности, что при больших (г (|i 10) зависимость |5 от
|л3 прекрасно аппроксимируется прямой
Р = 0,7ц3. (115)
Мнимая часть функции действия (111), таким образом, при больших Ф, Ф2Э*-,
т. е. при ф2 Н2/Х, выходит на константу по ф:
868 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А. Д.
Волновая функция W (а, Ф) при Ф 1/У g подавлена относительно
ее значения при Ф = 0, как
Учтем, что объем Q трехмерного мира равен 2я2#3, и получим, что
вероятность обнаружить поле за барьером подавлена, как
что совершенно естественно с физической точки зрения, так как мы
рассматриваем туннелирование во всем объеме Вселенной. Таким образом,
вероятностью однородного туннелирования при больших R следует полностью
пренебречь, что и ожидалось ранее на основании качественных соображений
[32].
Смысл формулы (118), на самом деле, шире, чем предполагается по ее
выводу. Выражение (118) можно рассматривать как вероятность
туннелирования с образованием поля, однородного в физическом объеме Q >
Н~3, не обязательно равном объему всей замкнутой Вселенной. При больших ^
(jx > 10), когда справедлива формула (115), получим, что вероятность
однородного туннелирования в объеме Q пропорциональна
Результат именно такой структуры можно получить, используя методы разд.
1, рассматривая туннелирование в плоском мире с образованием поля,
однородного в объеме Q. Такого совпадения и следует ожидать в пределе т^>
Н, когда кажется справедливым пренебрежение гравитационными эффектами.
Полученные выше результаты (117) и (118) относились лишь
9
к случаю большой массы, т2 > №. В противоположном случае
малых масс, пг2 <С Я2, как мы видели выше, однородного туннелирования
нет. Но если нас интересует поле ф (х), однородное не во всей (замкнутой)
Вселенной, а в масштабе физических длин, скажем, порядка Н-1, то
необходимо рассматривать гармоники поля ф (к) с волновыми числами | kphyg
| Н. Важным является то обстоятельство, что в расширяющейся Вселенной
физическая длина волны каждой моды возрастает с ростом масштабного
фактора R. В силу этого все большее число мод поля ф дают вклад в
усредненное по физическому объему порядка Н~3 поле. Рассмотрим этот
.процесс, следуя работе Старобинского [27, 28].
Основная идея состоит в том, что при разбиении поля ф (х) на
Длинноволновую Ф и коротковолновую части влияние коротковол-
ехр (- У A Im Soo) = exp ^ |3A3/2a3) =
= ехр (_*51|3(ЯЯ)а).
(117)
(118)
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 869
новой части на Ф приобретает характер случайной силы, обладающей простыми
статистическими свойствами.
В квантовой теории поля квадратичная флуктуация поля ф (х) бесконечна в
результате сложения нулевых колебаний бесконечного числа мод. Однако
среднее значение ф (х) в конечной области пространства имеет конечную
квадратичную флуктуацию. Определим среднее по координатному объему Ъ3
формулой
Фь = "(2я1)3/а V j &хе-*г/2Ь,ф(х), х=\х\.
Воспользовавшись разложением в импульсном пространстве (мы считаем
пространство плоским):
ф Ф = I !ГяТ3/2 ^кфке1кх + 4фкв-1кх], (119)
получим для фь:
Л JBb кгьг
Фь - ) •(2я)з/2 е 2 ["кфк-f (r)кфк]- (120)
Здесь ак, ак - обычные операторы уничтожения и рождения, удовлетворяющие
коммутационным соотношениям [ak, а?] = б3 (k - q). Как и должно быть, в
среднее по объему &3 значение поля ф дают эффективный вклад моды с к Ь-1.
Мы для удобства заменим (120) формулой
фь= S 0(~/с + 6"1) + (121)
Мы сейчас будем рассматривать эволюцию поля ф на фоне заданной метрики
dS2 = -dt2 + R2 (t) (dx2 -f- dy2 + dz2) - метрики Вселенной де Ситтера с
постоянной Хаббла Н - V V (0). Поскольку нас интересуют макроскопические
эффекты, имеющие место в масштабе физических длин порядка Н-1, то
соответствующая величина 6, характеризующая координатный объем, равна
Более точное ограничение на величину е будет получено ниже. Обозначив
усредненное по этому объему значение поля ф буквой Ф:
+ <122>
получим для скорости изменения Ф:
(r) = I ''(2я)*/а Q(~k + eRH) ["кфк + ^кфк] +
+ eRH2 j б {к - eRH) [ акфк + а?ф?] шт
= j (2л)3/2 (r) ^ - k-\-&RH) [акфк-Ь акфк] + / (t). (123)
870 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А. Д.
Уравнение движения поля ф (х) на фоне Вселенной де Ситтера (i> (ф) - V
(9) - V (0) ) :
Ф + ЗЯф-^-У'ф + т'ф-Хф3 = 0, (124)
так что мода фк приближенно подчиняется уравнению
• f • 1" 2
фк + ЗЯфк4- да" фк + ^2Фк - X <ф2> Фк = 0- (124')
