Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
N N
2 азДт)?з+2 [?вг ('E)?.V+r+-^tti] =<?*.
r= 1 r= 1
N N j
2 [>8(т)?г-^г] +2^w?fe=o I
r=l r=l I
(S=l, 2, ..., TV). J
(23.62)
296 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ |Гл. IV
Система (23.62) имеет такой же вид, как и рассмотренная в §”20 система уравнений (20.1), и следовательно, мы можем построить асимптотические решения, воспользовавшись результатами § 20 (разумеется,
с учетом того, что в данном случае коэффициенты уравнений, а также
правые части зависят еще от «медленного» времени i).
Однако можно и не приводить систему уравнений (23.56) к системе 2N уравнений первого порядка, а построить непосредственно для нее асимптотические решения, несколько обобщив результаты, полученные в § 20 и в настоящем параграфе.
Мы должны будем в этом случае вместо вспомогательной системы
(23.4) рассматривать следующую:
N N N
2 ars (*) 4sГ + 2 brs (“О Яа + 2 с„ (k) qs = 0 (23.63)
S— 1 8 = 1 8=1
(г =1,2,
Решение системы (23.56), соответствующее одночастотному режиму, ищем в виде рядов
qs = u?'(z, а, ф) + ем‘1) (т, а, 0, <]>) + е2м‘2) (-с, а, 0, <]>) + ... (23.64)
(s=l, 2, N),
где
а, ф) = ф‘1)(т)ае^-(-<р*а>('1:)ае-*'1' (^ф = v(т) +
(s=l, 2, ..., N),
9s1’ (т) — фундаментальные функции, являющиеся нетривиальными решениями системы однородных алгебраических уравнений:
Д { ~ asr (-с) о)? (-с) + ibsr (-с) «)1 (т) + csr (т)} (-с) = 0 (23.65)
(S=l, 2, ..., N),
9s*'1’(“с) — сопряженные с <Ps1)('c) (s = 1, 2, ..., N), а«)1(т) определяется из уравнения
D II - asr 0е) ш2 + ibrs (Т) Ш + Csr М II = 0. (23.66)
Для составления же уравнений, определяющих величины а и & и имеющих такой же вид, как и уравнения (23.10), поступаем как и обычно, т. е. находим вначале «регуляризированное» выражение для а, 0, ф) (s = l, 2, ..., N), а из условий конечности, которые в нашем случае будут иметь такой же вид, как и условия (23.25), находим ^41(х, а, &) и Вг(х, а, &) и т. д.
ГЛАВА V МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
§ 24. Уравнения первого и высших приближений в методе усреднения
В начале настоящей книги мы вкратце останавливались на приведении нелинейного дифференциального уравнения, содержащего малый параметр, к стандартной форме и построении приближенного решения согласно принципу усреднения.
Остановимся теперь на этом вопросе более подробно.
Как известно, вид нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, а также самый характер вхождения в них малого параметра может быть чрезвычайно разнообразным.
Однако во многих случаях с помощью простых замен переменных дифференциальные уравнения колебаний могут быть приведены к одной общей форме, в которой правые части пропорциональны малому параметру. Такую форму дифференциальных уравнений мы условились называть стандартной.
Приведение дифференциальных уравнений к стандартной форме с последующим применением принципа усреднения является эффективным методом в особенности при исследовании нелинейных колебательных систем со многими степенями свободы.
Так, например, в случае, если нелинейная колебательная система с N степенями свободы характеризуется следующими выражениями кинетической и потенциальной энергии:
N N
г=т S ^={ 2 KiMv (24Л)
h, 5=1 ft, 5=1
где qlt q2, . . ., qN — обобщенные координаты, ahj, bhj — постоянные и, кроме того, квадратичные формы Т и V определенно-положительны, то, как известно, посредством линейного преобразования
Я] = 2 ?jkzh (24-2)
k=i
можно ввести нормальные координаты ж2, • *., Хк, для которых
N N
Т = ^х\, F = (24‘3)
fc—1 k—1
и уравнения Лангранжа для невозмущенного движения принимают следующий вид:
^ + <ofrfc = 0 (А = 1, 2, ..., N). (24.4)
298 МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ [Гл. V
Допустим теперь, что на нашу систему действует малое возмущение вида ^ = + 2 [$?(<7h, <7k)cosS*t + Q?)(qh, qk)smQat], (24.5)
a
где Qa — частоты возмущающих сил, з —малый параметр.
Тогда, переходя в (24.5) также к нормальным координатам, получим следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений:
^ + = *Xh(t, xh, xh) (к= 1, 2, . .., N), (24.6)
где &Хк определяются из условия эквивалентности работ согласно формуле
Xk=fQj9hl (А =1,2, ...,iV). (24.7)
)=i
Уравнения (24.6) путем замены переменных
xk = zfeeiuV + z_fee_iuV, (24.8)
хк = ткгке1шн(— mkz_ke-u"h{, (24.9)
в которых ък и z_h — комплексно сопряженные неизвестные [функции времени, могут быть приведены к стандартной форме.
Действительно, дифференцируя (24.8) и сравнивая с (24.9), имеем:
zfeeiuV + z_ke~i'°kt = 0. (24.10)
Дифференцируя (24.9) и подставляя в (24.6), получим:
iu)fezfeeiuV — iu)ftz_fee_i,V = гХк. (24.11)
Полагая для упрощения записи
-«)., = «)„ X_h = Xh, (24.12)
можем (24.6) представить в виде
dzp гг ц _ v/?=+l, ±2, •••, ± N
, к = ± 1, -t 2, . .., ± TV
К уравнениям типа (24.13) могут быть приведены также уравнения, описывающие колебания систем, находящихся под воздействием сил высокой частоты, и другие.
Итак, остановимся на изложении формального метода построения
приближенных решений для уравнений в стандартной форме:
^Г = еХк(*’ т1’ х2> ¦ ¦ •> хп) (А=1. 2, ..., п), (24.14)
где з —малый йараметр, а Хк могут быть представлены с помощью сумм: Xk(t,x1,x2, . хп) = '%е™ХПч(х1, х2 . . ., хп) (24.15)
