Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что частота внешней силы v (т), которая медленно изменяется со временем, находится вблизи значений собственной частоты а)1. В этом случае представляет интерес рассмотреть нестационарные колебания системы, соответствующие возбуждению гармоник с частотой, близкой к (вг.
Приближенные решения ищем в виде
х= (p'i1,acos(9-|-&), I
2/ = <p‘21,acos(9 + &), J {6' ]
где (p'j1*, — нетривиальные решения системы алгебраических урав-
нений (22.39), а)х — наименьший корень уравнения (22.40), а а и 8 как функции времени должны быть определены из уравнений первого приближения. Для составления этих уравнений можем воспользоваться правилом и формулами, приведенными в § 19 для колебательной системы с одной степенью свободы. Для этого вместо системы (23.49) рассматриваем эквивалентное ей при одночастотном режиме одно уравнение второго порядка:
'ni(-S-+<0==^(2’ i)+^sin9’ (23-51)
где введены обозначения:
"Ws^' + 'P^2)
> (23-52)
dz dt
+ a [(/2 +/„) ф'1’ - ¦
Подставляя значения тх, Ег и Q^z, (z = a cos ф) непосредственно в формулы (19.22), получаем:
f = - -?¦ к v+г.) я" - ля1 w >]«- E?f“+!$“)-«»».
lh^~,n^ah) ^1)] i S з/«аС08ф)С05фйф-
- (23.53)
mia (^i Н“ v СО)
Полагая, что нелинейность упругой связи определяется той же самой характеристикой, что в примере § 22, вычисляя интеграл, стоящий в правой части второго уравнения системы (23.53), и после этого численно интегрируя систему (23.53) при различных скоростях изменения частоты внешнего крутящего момента v (т), получаем ряд кривых, приведенных на рис. 121, характеризующих изменение величины а в зависимости от изменения v (х).
Заканчивая настоящую главу, посвященную исследованию одночастотных колебаний в нелинейных системах со многими степенями свободы, заметим, что изложенная методика может быть без особого затруднения применена к исследованию более сложных колебательных систем, например к исследованию колебательных систем с N степенями
294 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [Гл. IV
свободы, для которых функция Лагранжа может быть представлена в виде
N N N
^ = т{ 2 ars('c)<7s<?V + 2 2 ЕМЧтЪ— 2 crs (х) > (23.54)
Г, S—1 s,r=l r,s = l
где, как и выше, qly q2t q^ — обобщенные координаты, т = е?,
е —малый положительный параметр, ars (т) = asr (г), crs (г) = csr (т) и ?sr(T) (s> Г==1> 2, ..., TV) имеют достаточное число производных при всех конечных т.
(Рассматривая т как постоянный параметр, мы получаем, что asr, gsr, и csr (s, r= 1, 2, ..., TV) — постоянные и, следовательно, приходим к более общему случаю по сравнению с рассматриваемыми в §§ 21 — 22; если же т = st, то рассматриваемый случай будет более общим также и по сравнению с системами, рассмотренными в настоящем параграфе.)
Будем предполагать, что полная энергия рассматриваемой колебательной системы
N
H=^qs~-JS (23.55)
8=1 99*
является определенно-положительной квадратичной формой для любых т на интервале 0<т <L, а сама система находится под воздействием внешних возмущающих сил типа (23.2). Тогда мы приходим к исследованию следующей системы нелинейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами:
N N N
i{2 asr(^)?s} -1-2 м^к+2 с*г(х) я.=
S=i $=1 s — 1
N
= <?гКв, qx, qN, 4l, qN, 8) - 8 ^ (23.56)
('' = 1,2.....Л’),
§ 23] СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ 295
в которой bsr-(x) = gsr (т) — gra (t) и, следовательно,
Кг (т) = - brs (т) (s, Г= 1, 2, . . ., TV).
Предположим, что для системы (23.56) выполняются все условия, приведенные на стр. 283 настоящего параграфа. Для построения приближенных асимптотических решений системы (23.56), зависящих от двух произвольных постоянных и соответствующих одночастотному режиму, мы можем либо воспользоваться общей методикой, разработанной в § 20, с соответствующими уточнениями, как это было сделано в начале § 23, либо непосредственно результатами § 23.
Для применения результатов § 20 необходимо систему TV уравнений второго порядка (23.56) свести к системе 2TV уравнений первого порядка. Для этого, как и обычно, вводим новые переменные по формулам:
W = — (s = l, 2, ..., TV) (23.57)
дд,
или в развернутом виде
N N
W=2 “г. 00 ?г + 2 ?« (*) ?r (s=1, 2, . . ., TV). (23.58)
T=l T=t
Воспользовавшись обозначением (23.57), имеем:
H = (23.59)
После этого систему (23.3), согласно известным принципам механики, можно заменить системой 2TV уравнений:
= dqN+4= ЭН я (23.60)
dt dgs+s’ dt dqs
где Л и Qs (s=l, 2, ..., TV) являются так называемыми союзными выражениями для функций Н (23.55) и Qs (s=l, 2, ..., N) (23.2),
получающимися после замены в последних скоростях qs (s = 1, 2, ..., TV) их значениями, выраженными из системы (23.58) через значения qr (г = 1, 2, . .., TV).
Подставляя qs (s = l, 2, ..., N) в выражение (23.59), получим:
N N N
^ = Т 2 asr(TWs?r+ 2 T.rWMv*r+{ 2 P.rCOtf/V^V*,-» (23.61)
S, г= 1 з. г—1 S, г— 1
причем asr(‘c) = ars(‘c), |3sr (т) = J3rs (<с) и (т) (s, /-=1, 2.TV) имеют
достаточное число производных на интервале 0<т<.'L.
После этого система уравнений (23.60) может быть записана в явном виде следующим образом:
