Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
= гА1 (х, а, &) + з2у12(х, а, 0),
dt
^ = a)1(x)-v(x)4-eS1(x, a, &) + s252(t, a, ft),
(23.35)
в которых -4t(x, a, &), 5х(т, a, &), yl2(x, a, &), S2(x, a, &) находим из систем (23.28) и (23.30), а «"’('> 6, & + ^) (s = 1, 2, . . ., TV) по фор-
мулам (23.26).
Итак, интегрирование системы (23.3) сведено нами к интегрированию уравнений (23.33) или (23.35), которые, как уже указывалось в общем случае, не интегрируются в замкнутом виде, и их приходится интегрировать численными методами. В § 19 указывалось па преимущество численного интегрирования системы уравнений, определяющей а и &, по сравнению с численным интегрированием непосредственно уравнений движения. В данном же случае это преимущество во много раз увеличивается ввиду того, что мы при численном интегрировании рассматриваем не систему N уравнений второго порядка, а только два уравнения первого порядка.
Рассмотрим некоторые частные случаи системы нелинейных дифференциальных уравнений (23.3), для которых ураннепия первого приближения принимают особенно простой вид.
В качестве первого частного случая рассмотрим «свободные» одночастотные колебания системы со многими степенями свободы и медленно меняющимися параметрами, т. е. когда правые части уравнений (23.3) не зависят от 0 и имеют следующий вид:
N N
1г{2 a«(T)?s} + 2 crs^)qs = Qr(^, 4i, •••> 4s, ch, 9.V, $) (23.36)
s—i s=i
(r=l, 2, TV).
В этом случае приближенное двупараметрическое частное решение в первом приближении будет:
9s‘=lPs1)(^)ac0S4) (s = 1, 2........N), (23.37)
где а и ф должны быть определены из системы уравнений первого приближения:
2тс N
2т, (" ^) “ ‘"“ТТ*1 ">> - 2ятг (,') „И 5 2 «' <'¦ «•«М Ф ^
0 г=1
2тс N
— Ш1 (х) — 2дте1'(г) Ю1 (т)я$ 2 ЯгЛ^, «. ф)??>Ы°°8'Иф. (23.38)
О r= 1
§ 23]
СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ
291
г.
которую получаем непосредственно из соотношений (23.28), в которых полагаем, что и Вх зависят только от а и Введем по аналогии с § 19 обозначения:
1,(1) /„ „\ s d (т1 (х) w1 (г)) .
= ------------*-------+
2п N
О т= 1
2п N I
^ ф)ср^(х)со8фйф;
О r= 1 '
тогда уравнения первого приближения можно записать в виде
do. _ ч .I ч , \
_ = — Ое (а, х) а,
(23.39)
(23.40)
•j (1) / \
> (т) / \ А.е v & > ъ)
где °е (Я) Х)= 2wi(t) .
Таким образом, уравнения первого приближения для системы Л' дифференциальных уравнений (23.36) будут такими же, как и для системы с одной степенью свободы, описываемой уравнением
N
mi(T)(4jr+®i=s2 Фо ,р‘1>а;- • • •> ^>х)^1>(т)-
г = 1
(23.41)
Рассмотрим теперь случай, когда внешние возмущающие силы имеют следующий вид:
<?ЛТ>9»'h> •••> ?v> 4v •••> ?v> s) = ?<?,- (т> ?i, <71- •••><7,v> s) +
+ sEr (t) sin 6 (r=l, 2, ..., TV), (23.42)
d0 . где dT=v(T)!
Тогда система дифференциальных уравнений (23.3) будет:
{IV ^ IV
2а« (о ?.}+2 со ?. = е<?г к ?i, • • •, ?lV. ?i, • • •, ?lV,s)+
S = 1 ) S=-1
-f sEr (т) sin 0 (r=l, 2, ..., TV). (23.43)
В случае рассматриваемого нами основного резонанса (р = 1, q = 1) в первом приближении решения системы (23.43), соответствующие одночастотным колебаниям, близким к одному из нормальных, будут:
?3 = ?sa>('c)aC0S(9 + &) (s = d, 2, ..., TV), (23.44)
где функции времени а и & должны быть определены из системы
292
ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
[Гл. IV
уравнений первого приближения:
da _________га__d (т1 (т) (т))
dt
2mx (т) «>! (т)
dz
X
27С N
2тс mi (т) coj (т)
N
2 еЕ* W ‘fr1’ (')
X
О г=1
«г»
¦5Г = т1 СО-* СО-
211m! (т) «>1 (т) а
X
2тс JV
X
2 s?v м <р") (т)
^ 2 К а, ф) ср'1’ (х) cos ф <*ф + g),(tiW_;(l)) sin ft,
0 r= 1
(23.45)
которую, учитывая введенные обозначения* (23.39), можно представить в виде:
da
dt
db
dt
где обозначено:
= — Зё1’ (а, х) а -
E(z)
= “ё” (а, X) —v(t)
mi (z) (w1 (t) —v (t)) E(z)
m1 (t) a («>! (г) —v (т))
COS ft,
sin ft,
(23.46)
N
E(t) = e 2 Er(-z)yru(z).
r= 1
Итак, для того чтобы составить уравнения первого приближения для системы с N степенями свободы при наличии одночастотного режима, мы должны воспользоваться правилом, приведенным в § 19 для колебательной системы с одной степенью свободы, описываемой следующим дифференциальным уравнением с медленно меняющимися коэффициентами:
т-
N
(*)(-§г+“!(т) ®) = 2 “Ф1’(т> ?iu*» • ¦ • ’f^’*,&1>х’ ¦ ¦ ¦’?» *)#“Ы +
г=1
+ ?(x)sin6. (23.47)
Проиллюстрируем изложенную методику на простом примере. В качестве такого примера рассмотрим, как и в § 22, крутильные колебания вала, схематически изображенного на рис. 118, причем для упрощения предположим, что все параметры, характеризующие нашу колебательную систему, такие же, как и в § 22, и только внешний крутящий момент, действующий на среднюю массу, имеет вид
M-.Esin0, (23.48)
db . , где dT = vW-
Тогда наша задача, как и в § 22, сводится к построению приближенного решения системы дифференциальных уравнений:
IJ& + сг (1г + /2) х - сг1ху = — (/t + /2) в/ (х) + aljif + EIX sin 6,
hhV — cihx + с2(h + h)У = Iff (x) — * (72 + 7з) У — 1зЕsin fi>
d%
(23.49)
где
dt
*(t).
§ 23] СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ 293
