Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 96

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 138 >> Следующая

\ для 3=1 )
Г Т 2 QrV (*, «, в, ф) <#> (О е-^+тКь йф
у- в 0 г — 1__________________________________ pi(nQ-\-mф)
щ (*) [<°5 (*)—(ш1 оо m+v W »)aJ
-2ш1 а 2 -—wy(tjffi(r)-mi(t)j----------------------sinф <23-26)
i—2
(S = l, 2...........N),
где
N
mi (T) = 2 «re (x) SPr ’ (t=) (x) == 2Z1 (x)]
r, S=1
и, следовательно,
N
[JT^] 2 ars (,)?-(,) (r=l, 2, TV).
d9r “ 8=1
He представляет затруднений сформулировать правило составления «регуляризированных» выражений для ««“(х, а, б, ф) (s = l, 2, ..., N), исходя непосредственно из выражений возмущающих сил и выражений для кинетической и потенциальной энергии.
N
Заметим, что сумма ^ (х, а, 'Ь, ф) (г) представляет собой
Г = 1
обобщенную силу, действующую на /-ю нормальную координату. Выра-
N
VI d Г дТ (я) "j tj) . .
жение 2j -фГ ?*¦ (ъ) также можно интерпретировать
г=1
288 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 1гл. IV
как обобщенную силу, действующую на /-ю нормальную координату. Наличие этой дополнительной силы объясняется появлением (в результате зависимости инерционных коэффициентов а4 - от «медленного» времени х) «силы» Г ——— - "I . ... .
ch L dqr J
Таким образом, для получения функций (т, а, 6, ф) (s= 1, 2,..., У)
надо подставить в функции Q?’(х, 6, qv ..., qN, qv ..., qN) (7*= 1, 2, ... N)
нулевые приближения qs, qs (s= 1, 2, ..., N) и найти (n, m)-й члрн в ряде Фурье для обобщенной силы, действующей на /’-ю нормальную координату; далее, надо найти производную кинетической энергии по
скорости, заменить в ней qs на 9^ (г) (s=l, 2, ..., N), после чего полученные выражения подставить в формулу (23.26). Величины /га-(г) {/=1, 2, ..., N) представляют собой удвоенные формы кинетической
энергии, в которых скорости qs (s = 1, 2, ..., N) заменены «нормальными» функциями 9<3’) (г) (s, / = 1, 2, ..., У).
Перейдем к определению функций Аг(х, а, &) и Вг(х, а, &), которые, как и обычно, определяются так, чтобы выполнялось условие конечности (23.25).
Вводя обозначения п= —а, т + 1 = а, условие (23.25) представляем в виде
N
2 g!!ipV.e±i("’ а)?г1> (т)е±^+”«» = 0 (23.27)
Г—1
(— ОО о оо).
Подставляя сюда значения g^1^ (х, а) согласно (23.18) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получаем систему уравнений для Л1(х, а, &) и Вг(х, а, &), аналогичную системе (19.8):
<‘°i (') -v ('=)) -^г ~ 2acoi W =
2тс 2тс N
2 тс2га,
К». (.)..(.)>_ > (23.28)
2тс 2тс Л'
“ 5 5 2 &о('’ а’ ф)9г1>(х)е~”0, sin ф rfSс?ф
а 0 0 г = 1
(&' = ф_б).
После того как нами найдены выражения для к”* (х, a, О, ф) (а’ = 1, 2, ..., У), Ах(х, а, 9) и Вх (т, а, &), становятся известными
правые части уравнений (23.14), из которых находим функции г42)(х, а, 0, ф) (s=l, 2, ..., У), а из условий конечности
N
2 §(пГ: т (х, а) 9'1’ (х) = о (23.29)
Г— 1
(n+m± 1=0)
23]
СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ
289
находим А2(х, а, &) и В2(х, а, &). После ряда выкладок получаем для определения А2(х, а, &) и В2(%, а, &) систему уравнений:
dAj,
да
dm1 (t) Ay if (т) a
dAi В ¦

дАх
dz
¦aB\ +
dz
2n 2n N
}
2n2mx (z)
nii(t) (t)
2 еШ \ \ 2 ф»-о)(г> a’ 9> Ф)9<1?)(х)е-*°9' совфсЮс^ф,
дВ«
а»
О 0 r= 1
¦2ш1(т)Л2= -
дВг
dz
2Л1В1
да dmx (г) dz
дВг
да
Вх +
J. (23.30)
5l_1 l(t) J
2тс 2 re N
- 2r.-"m,(^) 2 еЬ& j) \ 2 ®й’ <*. а> 9> ф) e_io&' sin ф d% оЦ>, где обозначено:
0 0 r=1
(23.31)
После того как нами найдены функции (%, а, 0, ф) (s = 1, 2, ..., N), А^(%, а, &), А2(х, а, Ь),В1(%, а, Ь),В2(х, а, &), мы можем построить решения уравнений (23.3), соответствующие одночастотному режиму, как в первом, так и во втором приближении.
Резюмируя изложенное, приведем схему построения первого и второго приближения для частных двупараметрических решений системы
(23.3), соответствующих одночастотному режиму.
Заметим, что эта схема при г = const может быть также применена и к результатам предыдущего параграфа, в котором ради краткости мы не останавливались на приведении такой схемы.
Итак, прежде всего выделяем невозмущенную систему (23.4) и проверяем, возможны ли в ней при любых значениях параметра г(0<г <Ь) незатухающие гармонические собственные колебания с частотой (ох (г), зависящие от двух произвольных постоянных; проверяем также, отсутствуют ли нетривиальные статические решения и внутренний резонанс. Далее, находим собственные частоты юй (г) (к= 1, 2, ...,7V) и собственные функции fs1} (i) (s = 1, 2, ..., N), причем при определении их считаем, что коэффициенты соответствующих алгебраических уравнений зависят от т: как от некоторого постоянного параметра.
После этого в качестве первого приближения берем выражения
% = 9s1' (т) a cos (6 + ft) (s = 1, 2, ..., N),
(23.32)
в которых а и & являются некоторыми функциями времени, определяемыми из уравнений первого приближения:
290 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [Гл. IV
где Ах (х, а, &) и 51(х, а, Ь) — частные периодические по & решения системы (23.28).
В качестве второго приближения принимаем выражения:
qs = фз1’ (х) a cos (0 -f &) + etts1) (х, а, 0, 0 + &) (23.34)
(s=l, 2, N),
где а и & определяются из уравнений вюрого приближения:
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed