Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
190
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
определяемую уравнением точного резонанса
сое (а) = v
(так называемую скелетную кривую).
Тогда на ветви кривой (15.25), лежащей левее кривой (15.26), устойчивыми (т. е. соответствующими устойчивым амплитудам) будут те участки, на которых а возрастает вместе с v; на ветви, лежащей
правее кривой (15.26), наоборот, устойчивыми будут те участки, на которых а убывает с возрастанием ч.
Г рафическое построение делает наглядной зависимость устойчивой стационарной амплитуды от частоты возбуждающей силы и, в частности, позволяет определить точки срыва и скачка, обусловливающие гистере-зисные явления, характерные только для нелинейных систем.
В качестве конкретного примера рассмотрим нелинейный вибратор & жесткой характеристикой нелинейной восстанавливающей силы (F— = cx-\-dxs), находящийся под воздействием внешней синусоидальной силы. Пусть колебания вибратора описываются уравнением вида
m~j^:— Е simt, (15.27)
где х — координата, определяющая положение системы, t — время, т — масса системы, Ъ — коэффициент сопротивления, F = сх -f dx3 — нелинейная восстанавливающая упругая сила, Е и v — соответственно амплитуда и частота внешней синусоидальной силы.
Введем для упрощения безразмерные хх и tx по формулам:
X^V^dX’ l^VCmL
Тогда уравнение (15.27) можно представить в виде
dx dt
Ъ j-, Е f а
где о = ~ — = — 1/ — и для упрощения опущены индексы при х и t.
у тс с г с
Допустим теперь, что в исследуемой системе трение, а также амплитуда внешней силы являются малыми и, кроме того, характеристика
нелинейной восстанавливающей силы достаточно близка к линейной. Тогда, сопоставляя уравнение (15.28) с (15.1), имеем:
еЕ==Е1> (15'2'9)
после чего, воспользовавшись формулами (15.2), (15.5) и (15.7), получим в первом приближении решение уравнения (15.18) для случая основного резонанса в виде
х = a cos (ч?-{-&), (15.30)
xJr%s = sin (15.28)
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ СИЛЫ НА ВИБРАТОР
191
где а и & должны быть определены из системы уравнений
da __ 5а______ Ех
dt
rift
dt
= 1-
1 + ч За2
COS '
Е,
(15.31)
8 1 а(1 + м)
Перейдем сразу к рассмотрению стационарного режима синхронных колебаний. При таком режиме в первом приближении согласно (15.30) величина х будет изменяться по косинусоиде с частотой внешнего [возбуждения и с постоянными амплитудой и фазой, определяемыми с точностью до величин второго порядка малости системой уравнений
— Ьа — Ег cos в = 0, 1 ")Vvl+?,sin9 = 0. ' (15-32)
1+-
!] +ElSi
Согласно (15.5) для уравнения (15.28) имеем:
За2
% (а) = ®е (я) = 1 + "8
(15.33)
Исключая из соотношений (15.32) фазу & (или непосредственно подставляя значения ое (а) и сое (а) (15.33) в (15.10)), находим следующую зависимость между амплитудой стационарных колебаний'и частотой внешней силы:
2{[(1+^f)2_"2]2 + 52} (15'34)
из которой находим:
и,«(а)±1/Г
¦о\
(15.35)
При помощи этой зависимости строим резонансную кривую (рис. 80), а также скелетную кривую,
определяемую уравнением
l + ^=v (15.36)
(рис. 80, пунктирная линия).
При помощи полученной
диаграммы согласно приведенному на стр. 190 правилу легко установить зоны устойчивых и неустойчивых амплитуд.
Так, устойчивым амплитудам будут соответствовать участки резонансной кривой МАВ
и DCN. Точки В и D будут являться точками срыва и скачка амплитуды.
Диаграмма, приведенная на рис. 80, позволяет полностью проанализировать характер колебаний в исследуемой системе при изменении частоты внешней силы. Так, при увеличении частоты внешней силы, начиная от малых значений, амплитуда вынужденных колебаний
нарастает сначала по кривой МАВ. В точке В происходит срыв ампли-
туды — значение амплитуды скачком переходит в точку С и при дальнейшем увеличении частота изменяется по кривой CN. Если теперь начать уменьшать частоту, то амплитуда вынужденных колебаний
192
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[ГЛ. III
будет изменяться по кривой NCD. Дойдя до точки D, значение амплитуды перейдет в точку А и дальше будет изменяться по верхней ветви резонансной кривой AM.
Заметим, что, говоря об изменении частоты внешней силы, мы подразумеваем очень медленное ее изменение, такое, что практически в каждый момент систему можно рассматривать как стационарную. Ниже этот вопрос будет более подробно рассмотрен в связи с явлением прохождения через резонанс.
Приведем теперь решение уравнения (15.28), соответствующее второму приближению. Согласно формулам (15.4) и (14.42) во втором приближении имеем:
х = a cos (v* -f &) -f- cos 3 (vt -f- $), (15.37)
где а и & должны быть определены из системы уравнений второго приближения:
da 8a 3a3S а Г 1 За2 (7— ч) ~| „ ЕгЪ
dt 2 ' 16
„Г 1 За2 (7 — ч) | „ -BjS „ . _ 00.
[ т+7 ~ 8j(3-v) (1 +vj2' Jcos& - 2тг+^р3№ <15-38)
db . , За2 52 15а4 ,
~dt = V ~^"~8 8 256"
El Г _J___За2 (5 Зч) "j . ^ _____________ЕгЬ
a Ll+v 8(3—v) (1-М2 J °1 '0
2a (1 + v)2
Как следует из выражения (15.37), во втором приближении появляются высшие гармоники, и колебание уже не будет являться чисто синусоидальным.
Приравнивая правые части уравнений (15.38) нулю и исключая угол 9, получаем зависимость между амплитудой колебания а и частотой внешней силы v во втором приближении. При помощи этого соотношения строим резонансную кривую во втором приближении (рис. 81, пунктирная линия).
