Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
€ 15]
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ СИЛЫ НА ВИБРАТОР
187
После этого уравнения (15.3) можцо записать следующим образом:
ным декрементом затухания и эквивалентной частотой нелинейных собственных колебаний, описываемых уравнением (15.6).
Рассмотрим стационарные режимы колебаний. Для получения в первом приближении стационарных значений амплитуды а и фазы 9 необходимо приравнять нулю правые части уравнений (15.7), после чего получим соотношения:
или с точностью до величин второго порядка малости следующие соотношения:
откуда, исключая фазу 9, находим зависимость между амплитудой стационарных колебаний и частотой внешней силы:
Полученные нами уравнения (15.9) и (15.10) совпадают с уравнениями, которые в классической линейной теории используются для определения амплитуды и фазы вынужденного колебания
в системе с массой т, коэффициентом упругости ке (а) и коэффициентом
лдальной силы еЕsin 4t.
Поэтому можем сформулировать следующее правило. Пусть дана некоторая нелинейная система, находящаяся под воздействием внешней синусоидальной силы с частотой, близкой к собственной частоте системы. Требуется найти значения амплитуды и фазы стационарного синхронного колебания (15.2).
Для этого, линеаризируя данную колебательную систему в свободном состоянии (т. е. не принимая во внимание внешней силы еЕ sin 4t), определяем функции амплитуды — эквивалентный декремент и эквивалентную частоту собственных колебаний.
Подставив найденные значения в классические соотношения линейной теории колебаний (15.9) и (15.10), получим уравнение для определения искомых величин амплитуды и фазы.
(15.7)
являются соответственно эквивалент-
(15.8)
2тч аЬе (а) = — еЕ cos 9, та [<0g (а) — м2] = — гЕ sin 9,
(15.9)
т2а2 [(u)| (а) — v2)2 -f 4v2o2 (а)] = s2E2.
(15.10)
х= a cos (-it -j- &)
(15.11)
затухания
соответственно с частотой ше
и декре-
ментом
находящейся под воздействием внешней синусо-
188 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ1ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ [Гл. иг
Настоящее правило сформулировано для частного случая колебательной системы, описываемой дифференциальным уравнением (15.1), однако оно может быть распространено и на более общие случаи колебательных систем.
Выведем условия устойчивости для рассматриваемых синхронных стационарных колебаний.
Для резонансного случая уравнения первого приближения (15.7) с точностью до величин второго порядка малости могут быть представлены в виде
2v[S=-2va8eN-^c OS&,
2va^ = [w*(a)-v2]a-f-^sin&, (15.12)
а уравнения стационарных синхронных режимов — в виде
R (а, &) = О,
Ф(а, ») = 0, J (15ЛЗ>
где через R (а, Щ и Ф (а, Щ обозначены соответственно правые части уравнений (15.12).
Пусть а и & —какие-либо решения уравнений (15.13). Для исследования вопроса об их устойчивости воспользуемся выведенными ранее условиями (см. (14.46), (14.47)). Применительно к нашему случаю они будут иметь следующий вид:
aRa (а, &) + Фэ (а, &) < 0, (15.14)
R'a К ») Ф4 (а, ») - R& (а, ») Фа (а, ») > 0. (15.15)
Раскроем смысл этих неравенств.
Из (15.14) имеем:
aR'a (а, Ь) -f Фэ (а, в) = — 2v abe (а) — 2va2 ^ cos ft,
откуда, принимая во внимание первое уравнение системы (15.12), находим:
aR'a (а, Ь) + Ф» (а, ») = - 2va - 2va й, (a) = - 2v d (a^‘(a)) s (15.16)
Имея в виду введенные обозначения (15.15), можем написать:
2v «Ч (а) = v = ^ W (а), (15.17)
где
2гс
W (а) = ^ ^ s/ (а cos (а>t &), — aw sin (wt ft)) aw sin (wt -f- &) d (wt -)- ft)
о
(15.18)
представляет среднюю мощность, рассеянную силой а/при колебаниях
х = a cos (wt + &).
При обычных законах трения W (а) возрастает вместе с амплитудой, так что
W' (а) > 0.
§ 15]
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ СИЛЫ НА ВИБРАТОР
189
j Таким образом, если ограничиться рассмотрением систем с обычным законом трения, то условие (15.14) согласно выражениям (15.16) и (15.17) ¦будет всегда выполняться.
Рассмотрим теперь условие (15.15). Для этого исследуем зависимость л и 9 —решений уравнений (15.13) — от частоты v.
Дифференцируя (15.13) по v, получим:
•откуда находим:
С другой стороны, из (15.13) имеем
еЕ
вЕ
Фэ = — cos&, Ф'=—2ча,
(15.19)
(15.20)
(15.21)
(15.22)
в связи с чем правую часть (15.20) можем записать следующим образом: Фу/?» — ЛуФэ = 2as — v ~ sin & + 8е (а) ^ cos &
или, учитывая уравнения (15.9), в виде
Ф;йэ - ЯЖ = 2va2 [(a,* (a) - v2) - 2о2 (a)].
Таким образом, из (15.20) и (15.22) вытекает, что
{Я’аФ'ь - ФaRb) % = 2va2 [(<*1 (a) - v2) - 2S2 (a)].
После этого очевидно, что условие устойчивости (15.15) может быть представлено в виде
da¦ > 0, если со* (a) > v2 + 282 (а),
<1ч
•^7 < 0, если а,2 (а) < v2 + 2В2 (а),
(15.23)
или с точностью до величин первого порядка малости (о\ (а) — величина второго порядка малости):
da
"57
da
> 0, если ше (а) > v,
•^7 < 0, если ше (а) < v,
(15.24)
Полученные условия устойчивости (15.24) очень удобны при графическом представлении зависимости амплитуды от частоты.
В самом деле, воспользовавшись уравнением (15.10), построим кри-
вую (рис. 79)
a = F(v) (15.25)
(резонансную кривую), а также построим кривую
a = F0(4), (15.26)
