Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
& = Дшг + Ф (Дсо? в), (14.62)
где б — произвольная постоянная, Ф (6) — периодическая функция 6 с периодом 2тг,
ДГ=Д ---------------------- f ------------. (14.63)
2 ....- lSlFb° sin 2ft
T
2 2?с
Подставляя значение & (14.62) в первое уравнение системы (14.51), получаем для определения стационарных значений амплитуды уравнение первого порядка с периодическим коэффициентом.
Это уравнение допускает решение а = 0, соответствующее гетероперио-дическому режиму. Вопрос об устойчивости решения а = 0 зависит от
184 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ [Гл. III
знака выражения
.С _.С -г 2-
где cos 29 обозначает усредненное значение cos 29 по периоду Т:
(«.as,
Благодаря (14.63) имеем cos2& = 0, и поэтому выражение (14.64) принимает вид
S°-Scr-^S2F2. (14.66)
Если выражение (14.66) отрицательно, то самовозбуждение отсутствует и гетеропериодический режим а = 0 устойчив; если же выражение (14.66) положительно, то в системе имеют место самовозбуждение и,
следовательно, неустойчивость гетеропериодического режима.
Итак, при выполнении условия (14.61) и условия
(14.67)
можно показать, что
a (t) —> А (Дшг + 0), (14.68)
*->00
где А (Дшг + 0) — соответствующее периодическое решение с периодом Т =-^- первого уравнения системы (14.51) после подстановки в него
V
значения & из (14.62).
В частности, при достаточно больших значениях расстройки получаем приближенно:
А (0) я» а0, (14.69)
где
т. е. значение стационарной амплитуды в нерезонансном случае.
Итак, при выполнении условий (14.61) и (14.67) в генераторе устанавливается стационарный двухчастотный режим — асинхронные колебания. В первом приближении для стационарных колебаний получаем выражение
е = -4(Дшг-{- 6) cos +Дш^ г + 0 + Ф (Дшг + 0) J , (14.70)
в котором -f- Дш — основная частота, а амплитуда А (Дсог 0) и фаза
0 + Ф (Дшг + 0) колеблются с частотой биений Дш.
Анализируя выражение (14.70), нетрудно заметить, что в этом случае при удалении от резонанса колебания приближаются к нерезонансным колебаниям вида
e = acos (шг + 0).
§ 15]
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ СИЛЫ НА ВИБРАТОР
185
Этот факт, очевидно, имеет место и в самом общем случае. Исследуя общие уравнения первого приближения (14.39), можно показать, что
В качестве частного случая колебательной системы, описываемой уравнением (13.1), рассмотрим нелинейный вибратор, находящийся под воздействием гармонической силы. Колебания такой системы, как указывалось выше, описываются следующим дифференциальным уравнением:
Анализируя во введении это уравнение, мы пришли к заключению, что в первом приближении может быть обнаружен только основной резонанс.
Итак, пользуясь ранее выведенными формулами, построим приближенные решения уравнения (15.1) в случае основного резонанса (р = 1, q= 1).
Согласно (14.39) и (14.40) в первом приближении имеем:
где иг(а, ф) определяется как вынужденное колебание, возбуждаемое в системе высшими гармониками внешней силы в режиме синусоидальных колебаний:
*) В данном случае предполагается, что амплитуда внешней гармонической силы мала. Если, исходя из физических соображений, такого вывода сделать нельзя, то имеем уравнение
при увеличении расстройки со —^ «резонансное» первое приближение непрерывно переходит в «нерезонансное».
§ 15. Воздействие синусоидальной силы на нелинейный вибратор
(15.1)
х = a cos (vif + &), где а и & должны быть определены из системы уравнений:
2тс
(15.2)
(15.3)
Во втором приближении полагаем
х = a cos ф -\- еих (а, ф),
(15.4)
тф 1 2тс
1(т(а) = ^ ^ /0(а,ф)е-4т^ф,
о
которое заменой z = sin v< приводится к уравнению типа (13.1).
186 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ [Гл. III
а а и & должны быть определены из системы уравнений второго приближения, для построения которой воспользуемся формулами (14.34) и (14.35).
Сначала находим согласно (14.31) и (14.32) главную гармонику функции е2/х(а, <]>):
главная гармоника {s2/1(a, ф)} =
= \ fi(a’ ф) созфйф + ^^Ф \ ]х (а,
о о
где обозначено:
]1(а, ф) = /ж (a cos ф, — дао sin ф)^ (а, ф) +
+ /ж' (я cos ф, — aw sin ф) ? Аг cos ф — аВх sin ф -f ^ (u> — v) J .
Далее, согласно (14.35) для определения А2(а, &) и В2(а, &) составляем систему
т [ (<о - v) - 2аш В2 J =
2тс
= ~т \jt А1+д~Ж В'~ aB*i\ \к(а’ Ф) созф^ф,
о
т [(со — v)a^+ 2(о А2 J =
2тс
= ~т [ а 5 Al + а Ж Bl + 2AlBl ] § ^l(a’ Ф) sin
o
После этого, зная Аг(ау &), А2(а, &), Вх(а, &), В2(а, &), не представляет труда составить уравнения, определяющие а и &, во втором приближении.
Остановимся подробнее на исследовании первого приближения.
Как и в случае нелинейной системы, находящейся под воздей-. ствием возмущения, не зависящего явно от времени, положим для
сокращения (см. (7.4))
2п
0 2* > (15.5)
К (а) = * - ^ \ /о («. Ф) cos Ф йф
о )
и заметим, что введенные параметры \ (а), ке(а) являются соответственно
эквивалентным коэффициентом затухания и полным эквивалентным коэффициентом упругости для рассматриваемой колебательной системы в «свободном» состоянии при отсутствии внешнего возбуждения, т. е. для системы, описываемой уравнением вида
