Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
~ =еВ'ы(а0, &0)&a-fe#J8(a0> й0)§&.
Характеристическое уравнение для системы (14.43) будет:
| S^4ia — ^ ®-4l8
, s В[а — X
или
X2 — (3^ia + e-Bi9) ^-f-e2 (A[aB[§ — i?}a^i3.) = 0. (14.45)
Из (14.45) получаем следующие условия устойчивости для рассматриваемых синхронных стационарных колебаний:
А\1а (а0, Ю + вм(ао> Ю<°> (14.46)
Aia{a0, &„)?[» (a0, д0) — А'1&(а0, %)B'ia(a0, \)>0. (14.47)
Во втором случае, соответствующем периодическому решению уравнений (14.39), в первом приближении колебание будет совершаться
§ 14]
«РЕЗОНАНСНЫЕ» СЛУЧАИ
181
с двумя основными частотами -
биений Аси, где Ди> =
2тс
с частотой со или — v 4- Ди> Я
и частотой
т (Г —период данного периодического решения).
Эти колебания называются асинхронными.
В качестве примера, иллюстрирующего характер синхронного и асинхронного режимов, рассмотрим ламповый генератор, находящийся под воздействием внешней периодической силы с частотой \>.
В случае, если генератор составлен по схеме, приведенной на рис. 78, дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс, будет:
йЧ dt2
-j-u>2e =
• <14-48>
где L — симоиндукция, М — коэффициент взаимной индукции, R — сопро-
\
тивление, D — проницаемость лампы, ц> = ^ — собственная частота
Т LG
линейного контура, С — емкость, ia = / (Е0 + F cos vZ + е) — характеристика лампы (ia — анодный ток), Е = Е0 -f F cos vZ -j- e — полное управляющее напряжение, Е0 — постоянная слагающая полного управляющего напряжения, F cos 4t — слагающая нелинейного управляющего напряжения, вызываемая внешним возбуждением, е — слагающая управляющего напряжения, происходящая от колебаний в контуре.
Рассмотрим случай, когда f(E0 + u), где u = e-\-F cos vt, является кубическим полиномом:
/ (Е0 + и) = / (Е0) + <5> + *S>2
¦S2u3,
(14.49)
в котором > 0.
Предположим, что члены, стоящие в Рис. 78.
правой части уравнения (14.48), малы; тогда
колебания будут близки к гармоническим, и мы можем построить приближенное решение уравнения (14.48), воспользовавшись приведенными выше формулами.
Будем рассматривать «резонансный» случай, когда р= 1, q—2,
V
т. е. со ^ -7Г .
Уравнение (14.48) перепишем в форме
dt2 ^ 4
Решение в первом приближении ищем в виде
(14.50)
е = a cos ф, ф = -j-1 + ;
где а и 9- должны быть определены из системы уравнений
^гА,{а,Ь), | = »),
для составления которой воспользуемся методом гармонического баланса.
182
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ
[Гл. III
Подсчитаем главные гармоники в левой и правой частях уравнения (14.50); имеем (см., например, (14.10)):
Г d2e v2 1
главная гармоника i ^2+ ^ е г ~ (а> v sm Ф “ ?®i (а> av cos Ф>
главная гармоника | — со2 ? ~ ^ — (М — DL) // (Z?0 + F cos vZ -f- j —
r v2 \ Г Г 1^° ^cr 2 1^2^'2 1
} = - {v [ -i4»*+----------------«] +
+ ^Nos24sin^{4"!~T)-^l?sin2*} cos,l'’
1 L
где обозначено: o0 = 2RC ’ S':r = R (M—DL) ’
Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках и .учитывая, что io-)-y(%v, получим для определения а и 9- следующую систему уравнений:
S0-S„-^-S2F*
da <> 3S 2
57 = й° 3~с
ч SxFb0 .
5F = u,-T-WSm2&-
f^^cos 2»,
(14.51)
Ввиду того, что во второе уравнение системы (14.51) входит только Одна неизвестная функция 9, оно может быть проинтегрировано с помощью квадратуры.
Однако, мы остановимся на другом вопросе.
Исследуем, при каких соотношениях между частотами со и v, а также коэффициентами полинома (14.49) в генераторе будут существовать стационарные колебания.
Допустим сначала, что
ш-т
<
b0SxF
26\„.
(14.52)
Тогда, интегрируя второе уравнение системы (14.51), получим: (14.53)
9 (t) —> 9„,
t —» СО
где
1
>0 = 1Г arcsin2 j^Ser.
(14.54)
Из первого уравнения системы (14.51) при выполнении (14.53) находим:
a (t)—> а0,
/->СО
(14.55)
где а0 определяется из уравнения
- Scr-—| S2F2 + ±StF cos 290) a0 - = 0. (14.56)
§ 14] «РЕЗОНАНСНЫЕ» СЛУЧАИ 183
Если
+ cos 290 < 0, (14.57)
то, очевидно,
йд = 0.
Таким образом, при выполнении условий (14.52) и (14.57) в генераторе устанавливается гетеропериодический режим — единственный возможный в данном случае стационарный режим.
Пусть теперь
-Scг - S2F2 + у StF cos 2»0 > 0; (14.58)
тогда решение а0 — 0 неустойчиво и система будет самовозбуждающаяся. Из уравнения (14.56) находим значение аа:
«о=/=j^„-*er-f^ + j^cos2«>0] . (14.59)
Таким образом, при выполнении условий (14.52) и (14.58) в рассматриваемой колебательной системе устанавливается синхронный режим и в первом приближении
е = а0 cos
где а0 и &0 определяются выражениями (14.59) и (14.54), т. е. в генераторе устанавливаются стационарные колебания с постоянными амплитудой и фазой и с частотой, равной половине частоты возбуждения.
V
ш-2
не должна
Согласно условию (14.52) расстройка резонанса
при этом превосходить некоторой величины. Иначе говоря, синхронный режим возможен при достаточно малых значениях расстройки.
Рассмотрим теперь случай, когда со, оставаясь достаточно близкой
к у, так что условия применимости уравнений (14.51) выполняются,
удовлетворяет неравенству
>
2?с
(14.61)
Тогда, проинтегрировав второе уравнение системы (14.62), можно представить & в виде
