Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 61

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 138 >> Следующая

о о
Заметим, что в предыдущих случаях, «резонансном» и «нерезонансном», мы могли бы первое и второе приближения построить также, применяя изложенный метод гармонического баланса.
Скажем еще несколько слов по поводу определения Ai(a, &) Bi(a, {>) (г = 1, 2) из систем уравнений (14.34) и (14.35).
Правые части этих уравнений периодические по & и представляют собой суммы типа 2 kn(a)einb, поэтому и решение для Ai(a, $),
Bi(a, {>) (г = 1, 2) мы должны искать в виде аналогичных сумм. В результате все выкладки при определении At (а, 6), В{(а, 9-) (г = 1, 2) сводятся к чисто тригонометрическим операциям.
Нетрудно заметить, что из выведенных нами формул для исследования как резонансной области, так и подходов к ней можно получить все ранее найденные формулы. Так, полагая в уравнениях (14.34)
со — ~ v = зД, находим с точностью до величины первого порядка малости выражения для ^41(а, 9-) и Вг(а, 9-) (14.23), полученные в случае резонанса.
Резюмируя, приведем схему построения решения уравнения (13.1)
в первом и во втором приближениях для самого общего случая. В качестве первого приближения принимаем:
х = a cos , (14.38)
РЕЗОНАНСНЫЕ» СЛУЧАИ
179
где а и 9- должны быть определены из уравнений:
¦§ = *М«. »>•
§ = > + »)• в которых Ах(а, 9) и Вх(а, 9) —частные, периодические решения системы (14.34). Во втором приближении полагаем:
х = a cos vt -f 9^ +sm1 (^a, vi, y-vi + 9^), (14.40)
где а и 9 определяются уравнениями:
^¦ = г^(а,9) + ?242(а, 9),
~=<о-?-ч + еВ1(а, 9) + е2В2(а, 9),
в которых Ах(а, 9), Вх(а, 9), А2 (а, 9), В2 (а, 9-) должны быть найдены из систем (14.34) и (14.35), а их( a, vi,y vi-1-9^ по формуле (14,36).
Заметим еще раз, что уравнения второго приближения (14.41) с учетом выражений для А2 (а, 9) и В2(а, 9) (14.35) кажутся достаточно сложными только потому, что они записаны в самом общем виде. Для конкретных примеров даже во втором приближении мы получаем сравнительно простые уравнения, определяющие амплитуду и фазу колебания (см., например, уравнения (13.56) и (15.38)).
Остановимся на рассмотрении первого приближения.
В отличие от нерезонансного случая здесь в уравнениях первого приближения (14.39) переменные не разделены, и мы имеем систему двух взаимно связанных уравнений для определения двух неизвестных а и 9.
Заметим сначала, что для достаточно больших р ж q ввиду сделанного ранее предположения о полиномиальном характере функций
п0Рвое приближение в резонансном случае не отличается от
нерезонансного случая. Действительно, для достаточно больших р и q в суммах, стоящих в правых частях уравнений (14.39), останутся только члены, соответствующие a = 0, которые совпадают с выражениями (13.35), полученными в не резонансном случае.
Таким образом, эффект резонанса сказывается, вообще говоря, при небольших значениях чисел р и q.
Возвратимся к рассмотрению уравнений первого приближения (14.39).
Так как правые части этих уравнений зависят от а и от 9, то проинтегрировать их в замкнутом виде в общем случае не удается. Качественный характер решений может быть, однако, исследован и в общем случае с помощью теории Пуанкаре, потому что здесь мы имеем дело с двумя уравнениями первого порядка.
Согласно основным результатам этой теории (см. гл. III) можно утверждать, что всякое решение*) уравнений (14.39) приближается
(14.41)
(14.39)
*) Следует иметь в виду, что для всякого решения величина а должна оставаться конечной. С физической точки зрения это ограничение всегда выполняется, так как амплитуда колебаний не может неограниченно возрастать.
180 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ [Гл. III
с возрастанием времени или к постоянным решениям
а = аи & = (i = 1,2, ..,), определяемым из уравнений
Л1(а, &) = 0, «и — — v(а, 9) = 0, (14.42)
или к периодическим.
Таким образом, получаем два основных типа стационарных колебаний: колебания, соответствующие постоянному решению или, как говорят, «точке равновесия» уравнений (14.39), и колебания, соответствующие периодическому решению.
В первом случае колебания в первом приближении совершаются
с частотой, точно равной y-v и находящейся, следовательно, в простом
рациональном соотношении с частотой возбуждения. Поэтому такой режим колебаний называется синхронным.
В высших приближениях (см., например, формулу (14.21)) в выражении для и1( a, 4t, yvZ + Q-4), кроме основной частоты ~ , присутствуют, вообще .говоря, и другие обертоны разделенной частоты у .
В случае, если в системе существует постоянное решение типа а — 0, соответствующее отсутствию собственных колебаний, выражение для
ut^a, vt, у + $) (14.21) будет то же самое, что и в нерезонансном
случае (13.34), и представляет собой гетеропериодический режим колебаний.
Исследуем вопрос устойчивости стационарного синхронного режима. Для определения устойчивости постоянных решений а0 и &0, определяемых уравнениями (14.42), необходимо образовать соответствующие им уравнения в вариациях.
На основании (14.39) уравнения в вариациях можем записать в виде:
(14.43)
= 0, (14.44)
-Щ- = e^ia (а0, &0)5а+еА{»(а0, &0) о&,
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed