Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Так, например, в системе могут присутствовать источники и поглотители энергии, которые производят и поглощают весьма малую работу за один период колебаний, но при длительном их действии эффект, производимый ими, может накапливаться и оказывать существенное влияние на протекание колебательного процесса, на его затухание, раскачивание и устойчивость. Аналогично нелинейность квазиупругой силы будет при длительном воздействии оказывать влияние на фазу колебаний и т. п.
Таким образом, малые нелинейные члены могут оказывать как бы коммулятивное действие.
Подчеркнем еще, что из-за нелинейности нарушается принцип суперпозиции, и отдельные гармоники колебаний вступают во взаимодействие между собой, вследствие чего делается невозможным индивидуальное рассмотрение поведения каждого гармонического слагающего колебаний в отдельности.
Совершенно естественно, что наиболее доступными для исследования являются колебательные системы с малой нелинейностью, поскольку к ним в той или иной форме можно применять методы теории возмущений.
Исследование же системы с большой нелинейностью является с математической точки зрения весьма трудной проблемой, требующей индивидуального подхода в каждом конкретном случае.
Более или менее исследованными, и то лишь с качественной стороны, являются колебательные системы с одной степенью свободы, находящиеся под воздействием сил, не зависящих от времени.
Для систем же, слабо нелинейных, описываемых упоминавшимися ранее дифференциальными уравнениями с малым параметром при нелинейных членах, имеется теперь уже ряд достаточно общих методов, применимых ко многим типичным классам колебательных систем, часто встречающимся на практике»
14
ВВЕДЕНИЕ
Одним из первых таких методов явился метод Ван-дер-Поля. В своих исследованиях Ван-дер-Поль рассматривал главным образом уравнения вида
*?+¦*-./(*, ?) (21)
с малым положительным параметром s. При этом обычно полагалось (уравнение Ван-дер-Поля):
'О • <22>
При известной схематизации это уравнение, во всяком случае с качественной стороны, правильно описывает процессы самовозбуждающихся колебаний в электронных генераторах.
Для получения первого приближения Ван-дер-Поль предложил особый метод «медленно меняющихся» коэффициентов, аналогичный одному из методов, применявшихся еще Лагранжем в небесной механике,
а именно: он представил истинное решение в виде функции, выражающей гармонические колебания
х = a cos (шt -}- <р) (23)
с медленно меняющимися амплитудой а и фазой <р. Эти последние величины должны находиться из дифференциальных уравнений с разделенными переменными
1 =*Л(«>. % —Л<*>, (24)
где А(а), В(а) — некоторые функции амплитуды, просто определяемые
через заданное выражение / ( х, ). С помощью своего метода Ван-дер-
Поль получил ряд важных результатов. Так, например, им были исследованы процесс установления колебаний, стационарные режимы, колебательный гистерезис и т. д.
Следует, однако, подчеркнуть, что в данной Ван-дер-Полем формулировке приближение выводилось с помощью чисто интуитивных рассуждений, и, хотя приближение это оказалось плодотворным в первый период работ в области нелинейной механики, оно не могло полностью удовлетворить запросам пратики. Кроме того, оставались неясными вопросы его теоретического обоснования, пределов применимости и получения высших приближений.
Основной целью настоящей книги является изложение асимптотических методов нелинейной механики, разработанных Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым. Для исследования систем с медленно меняющимися параметрами изложен метод Ю. А. Митропольского. Главное внимание уделено слабо нелинейным системам с одной степенью свободы.
В конце хшиги некоторые из этих методов распространяются на более общие случаи.
Как мы уже говорили, системы изучаемого нами вида весьма часто встречаются на практике.
Рассмотрим поэтому ряд типичных примеров таких систем. В дальнейшем этими примерами мы будем пользоваться для иллюстрации излагаемых нами методов.
ВВЕДЕНИЕ
15
2. Наиболее простым примером нелинейной колебательной системы является обычный математический маятник (рис. 1). Если пренебречь трением, то уравнение, описывающее колебания маятника, имеет вид
ml2 + mgl sin х = 0, (25)
где т — масса маятника, / — длина, g—ускорение силы тяжести, ж —угол отклонения от вертикального положения.
Для малых углов отклонения sin х с достаточной степенью точности можно заменить через х. В этом случае уравнение (25) может быть приведено к виду
-5+f * = 0. (26) Рис. 1.
Уравнение (26) является уравнением гармонических колебаний, причем последние будут изохронными, т. е. период их Т = 2тс
не будет зависеть от начальной скорости и отклонения.
Однако для больших отклонений маятника уравнение (26) является неточным. В случае, если отклонения не превышают углов порядка одного радиана, то sin ж в уравнении (25) с достаточной степенью точности может быть заменен первыми двумя членами разложения в ряд
sin? = :r—(27)
.3
6
Тогда уравнение (25) примет вид
?+К*-т)-°- <28>
Очевидно, как это будет подробно показано ниже, коле-Ух бания в этом случае уже не будут являться изохронными, и
