Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 3

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 138 >> Следующая

Дело в том, что обычные разложения по степеням малого параметра приводят для искомых величин, характеризующих движение, к приближенным формулам, где наряду с членами, гармонически зависящими от времени, присутствуют еще так называемые секулярные члены типа
2™ sin а/, tm cosai, (1)
в которых время I входит вне знака синуса или косинуса. Вследствие того, что интенсивность секулярных членов быстро возрастает вместе с t, даже без детального анализа погрешности ясно, что область применимости получаемых приближенных формул ограничена слишком коротким интервалом времени.
¦ Эту трудность можно полностью проиллюстрировать на тривиальном примере затухающего движения, описываемого уравнением
с малым положительным параметром s. Решение этого уравнения есть
х = Се~~-(. (3)
Но если бы мы применили для решения данного уравнения обычный метод разложения по степеням г, то получили бы
х = С (^i-st + Ц-—. . . (4)
Останавливаясь здесь на одном, двух, трех членах, т. е. рассматривая формулы первого, второго и т. д. приближений, мы не сможем заметить по ним, что наша величина затухает при возрастании t, поскольку эти
формулы будут применимы, лишь пока t < , а за это время х не успеет
заметно измениться.
Указанное свойство обычных разложений по степеням малого параметра легко также выявляется при рассмотрении метода, предложенного Пуассоном при исследовании задачи о колебаниях маятника.
Метод Пуассона сводится к следующему: пусть требуется найти решение упомянутого нелинейного уравнения, содержащего малый пара-
10
ВВЕДЕНИЕ
метр з, которое мы можем представить в виде
+ *). (5)
Тогда решение, удовлетворяющее уравнению с точностью до величин порядка малости e"+1, ищут в виде ряда
х = х0 + ех1 + а2х2 + . .. + гпхп. (6)
Подставляя ряд (6) в левую часть уравнения (5), разлагают результат подстановки по степеням е, причем отбрасывают члены, содержащие е в степени выше п-й. После этого приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях параметра е.
Таким образом, получают систему уравнений:
d2Xn , о г\ "I
-5- + Л0 = 0,
dt2
d2x1
~dt^~
d2x«
dt2
fa=
4-CO2x2 = fx(^x0,
(7)
Легко убедиться, однако, что применение изложенного метода приводит к появлению в решении вышеупомянутых секулярных членов. Действительно, рассмотрим конкретное уравнение
+ ах + '!х3 = ®> а> °> Y> (8)
которое может быть интерпретировано как уравнение незатухающих
колебаний некоторой массы те, притягиваемой к положению равновесия
восстанавливающей упругой силой:
р (х) = <ххАг уж3. (9)
Предположим, что характеристика восстанавливающей силы р (х) близка к линейной.
Тогда, обозначая = а»2, “-=е> образуем приближенное решение
с точностью до величин второго порядка малости.
Имеем;
х = х0-{-вх1, (10)
прычем
d2x о
- О)
% = 0, (И)
dt1 ^ 0
^ + **X1--X?0. (12)
Из уравнения (И) находим:
х0 = a cos (Ы 4-6), (13)
п, подставляя в правую часть (12), получаем:
-f (о2^! = — a3 cos (соt + 6) —~ a3 cos 3 (мг 6). (14)
ВВЕДЕНИЕ И
Отсюда находим для хг следующее значение:
хх — —-^?a3sin ((°г + ®) + -з|а)2' cos3((o«-f 0). (15)
Подставляя (13) и (15) в (10), получаем искомое решение в виде х = a cos (iot + 0) — -Jb аз? sin 4- б) -f cos 3 (Ы + 0). (16)
В найденном приближенном решении имеется секулярный член
— аН sin (u>t -j- 0),
и потому колебания, представляемые формулой (16), должны раскачиваться, а амплитуда их при неограниченном возрастании t должна неограниченно возрастать, что находится в явном противоречии с характером точного решения уравнения (8), которое, как известно, выражается через эллиптические функции и имеет следующий вид:
^ = ^тахСП ф| , (17)
где сп, К обозначают соответственно эллиптический косинус и полный эллиптический интеграл первого рода.
Несоответствие решения (16) действительности подтверждается еще следующим фактом.
Если умножить уравнение (8) на и проинтегрировать, то легко
найдем первый интеграл — интеграл живых сил
\т (^У+Т аж2+1ж4==^’ <18>
выражающий закон сохранения энергии.
Из (18) следует, что при а > 0, у > 0 х2 не может быть больше
2Е -
чем — , и, следовательно, амплитуда колебании не может неограниченно
увеличиваться.
Анализируя приведенные простые примеры, мы убеждаемся в том, что изложенный способ получения приближенных решений с помощью разложения х в ряд по степеням малого параметра г пригоден только для очень малого интервала времени.
Ряд (16) из-за присутствия секулярных членов не пригоден не только для количественного, но также и для качественного анализа поведения решения уравнения (8) на всей действительной оси, даже в случае, если
ряд (16) сходится [см., например, первый пример — уравнение (2)].
Заметим еще раз, что наличие в разложении (16) секулярных членов ни в коем случае не означает, что уравнение (8) вообще не имеет периодических решений. Это свидетельствует только о несоответствующем выборе разложения.
Проиллюстрируем сказанное следующим простым примером. Рассмотрим функцию
sin (м -f в) t, (19)
2тг ^
которая имеет период ——; при малых г и любых ш и t мы можем ее разложить в ряд
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed