Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
iV„=мши
Это линейная функция хм. Производная по хм есть
<3AM/0xM = detM_, (ф')- ? det(ф*)det„y(ф'). (4.17)
Так как правая часть равна нулю по индукционному предположению, то 8Ам/8хм = 0. Из симметрии следует, что и 8Ам/8х} = 0. Аналогично доказывается, что сЛм/<5уу = 0. Следовательно, Дм не зависит от Xj и у j, но при Xj = у; = 0 (;=1,..., М), Ам = 0, поэтому Ам = 0 тождественно при любых Ху и уу, и (4.15) выполнено и при N= М. Это завершает доказательство теоремы. Следует отметить, что уравнения Бете нигде не использовались при доказательстве.
§ 4. ВЫРАЖЕНИЕ ||е5||„ ЧЕРЕЗ НЕПРИВОДИМЫЕ ЧАСТИ
181
Рассмотрим теперь среднее значение оператора Q1 (3.3). Список свойств величины ||6illw приведен в § 3.
Теорема 2. Среднее значение оператора Qt выражается в терминах якобианов (4.7), (4.8) следующей формулой:
{Ц = {>.'} U {V}
Здесь использованы те же обозначения, что и в теореме 1. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Нормированное среднее значение оператора Qx равно
Можно сказать, что эта величина порождается неприводимой частью единичного оператора.
Рассмотрим теперь среднее значение оператора Q\ (3.11). Список его свойств приведен в § 3. В данном случае как неприводимая часть единичного оператора, так и неприводимые части оператора Q\ дают вклад в ||Q\\\N. Введем величину, которая будет давать вклад неприводимой части единичного оператора:
Каждая неприводимая часть Ik(k^N) дает вклад в \\Qj\\N. Обозначим этот вклад через D%\
Суммирование ведется по разбиениям набора всех {А} на два непересекающихся поднабора {А/} и {A.1'}; card {Х‘}=к, card\\v} = N—k. Величина I равна:
Здесь —коэффициенты Фурье неприводимой части. Суммирование
ведется по разбиениям набора {А/} на три непересекающихся набора:
II Cl IU= I пх det„Х(фх) detBj(cp;).
(4.18)
N
N
НС? 118= I «x detjcpi)detB>(cp;).
(4.20)
(4.21)
l?* = I ^Z({A+}, {A-}, {A°})x
n
xE„,*_t({A+}, {А-}, т)П(П^)ГЦХ])). (4.22)
182
ГЛ. XI. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ОПЕРАТОРА Q\
{Х+}, {X } и {X0}, причем card {Х+} = card {X }=л, card {X°}=fc—2и, как и в выражении неприводимой части (2.15). Величина Е равна:
Ев,л-*({Х+}, {Х~}, {Хр}) = ? det„J(pi) det„ ((py)x
X П П (Ж+> К)//{К, Щ(/(К, K)/f(Xj, XI)). (4.23)
т= 1 j= 1
Суммирование ведется по разбиению набора {X"} на два непересека-ющихся подмножества {Xх} и {X/}, причем card {Xх} —пх, card \Ху} = пу, nx + ny = N—k, так же как и в (4.4), (4.15), (4.18). Якобианы det„ (ф*) и det„ (ф^,) определены в (4.7), (4.8). Итак, мы определили выражение Dk N; оно равно сумме по разбиениям набора всех {X} на пять непересекающихся подмножеств: {X} = {Xх} U {Хр}, {XJ} =
— {Х+} U {X-} U {X0}, {X"} = {Xх} U {Ху}. Теперь все готово для того, чтобы доказать теорему.
Т еоремаЗ. Среднее значение оператора Q\ выражается через неприводимые части по следующей формуле'.
II б? II* =11 б? II й + ? Dkn. (4.24)
к = 2
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.
Теперь нормируем величину ||(2?IU и запишем ее в окончательных обозначениях:
<°1 nc(Xj)Si П в(Хц)|о>
/а»2\ <^({x})ie?i^(W)>
ЧЬ?! ?N---/.I. mm.l. /fllW W N
<01 П c(x,) П B(X,)|0>
1 fc=l
I 2l lljv_____________/II n2 II 0
= (lie?llB/l|l|l*)+ I П.*- (4.25)
ll'IIM k=2
Напомним, что уравнения Бете выполняются. Величина Г kN—это вклад fc-частичной неприводимой части:
r*.w = Ak,w/ll 11U =
= X (detw_,(9'p)/detw(9'))/^({X/}, {X'}). (4.26)
{».! = {!'} U {!"}
Здесь мы ввели новый множитель det (ф'Д который сократится со знаменателем в формуле (4.29). Матрица ф^ определяется как
(<Pv)jk = 8q>vj/dXvk, и
Ф ? = / lnr(X5)+? i In (/(Xj, M)//(XJX;)). (4.27)
* = 1
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
183
Переменная суммирования X* пробегает все значения из набора {X11} за исключением {Х"}. Число величин ф" равно числу X*’ и равно (N—k). Величина Id—это нормированная величина ld:
Ik.N ({*•'}> {*•'}) = I ^1({Х+}, {X-}, {X0} х
х ({Х+}, {X-}, {Г}) П ЦЮ^ЧЮ- (4-28)
]=i
Величина En<N-k— это нормированная величина Е„
?и,*-*({^ + Ь {*¦“}, {^})= ? (detw_*(9;))_1 х
f*.1! = (*.*}и {*¦’}
xdet^det^q»;) п fl(/(V, K)!f{K, x;))(/(x.f, х;)//(х;, x?)). i=l j= 1
(4.29)
Итак, используя алгебраическую структуру анзатца Бете, мы выразили среднее значение оператора Q\ в терминах неприводимых частей. Отметим, что поведение величин rt N в пределе сильной связи (с->оо) то же, что и неприводимых частей Ik:Tktfi~c2~k. Поэтому разложение (4.25) аналогично разложению по обратным степеням константы связи. Представление (4.25) есть основной результат этой главы. В дальнейшем оно будет использовано для вычисления корреляционной функции токов в модели НШ в термодинамическом пределе.
Заключение
Мы завершили построение математического аппарата, лежащего в основе вычисления корреляционных функций для интегрируемых моделей. Алгебраический подход был сформулирован в работе [11.6]. В этой статье разработана теория скалярных произведений и вычислены нормы бетевских волновых функций. Изложение глав X, XI следует работам [11.4; 11.7], в которых задача вычисления коррелятора токов была сведена к задаче вычисления среднего от квадрата оператора числа частиц на отрезке, что, в свою очередь, привело к формулировке двухузельной обобщенной модели. Случай XXZ цепочки Гейзенберга рассмотрен в работе [11.5].
