Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
J *(*,, !.)]-*(*„ U ащ
14
ГЛ. I. ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
здесь
К(Х, ц) = Ф' ft - ц) = 9' ft - ц) = --jfe-.—. (2.17)
Возьмем некоторый вещественный вектор Vj и вычислим квадратичную форму:
Zkjiv;v‘=ZLv}+ Е k(xj’ xi)(vj~vi)2>l I ,;j>0- (2Л8)
j'jOKjOK, }=1 J>l = 1 j = l
Итак, матрица вторых производных является положительно определенной, а само действие — выпуклым. Действие S имеет единственный минимум, который и определяет решение уравнений Бете. Теорема
2 доказана.
В гл. IX мы увидим, что квадрат нормы волновой функции /v в периодическом ящике равен определителю матрицы вторых производных действия Янга на решении системы уравнений Бете:
L
(2л9)
о
Тривиальным следствием антисимметрии 0(^) является следующее равенство:
N 2п N
Piv = I (2-20)
j=i b J=i
Слева здесь стоит полный импульс системы PN (1.29).
Решение системы уравнений Бете (2.13) обладает следующим важным свойством:
Теорема 3. Если rtj>nk, то Xj>Xk; если П;—пк, то Xj = Xk. Доказательство. Рассмотрим разность двух уравнений системы
I [0(А.У-А.,) - в (Xfc-А..)] = 2я(«7-«к). (2.21)
i=i
Поскольку 0(А.) является монотонной функцией, то левая часть имеет тот же знак, что и первое слагаемое. Отсюда следует утверждение теоремы.
Таким образом, при л, = лк имеем Xj = Хк. Но из принципа Паули (§ VI.4) следует, что при этом волновая функция обращается в нуль. Итак, следует полагать, что rijфпк при ]фк. Так как волновая функция является антисимметрической функцией Xj, то всегда можно считать, что Х}>Хк при j>k, а следовательно, и
nj>nk при j>k. (2.22)
Перейдем теперь к изучению свойств, которые будут необходимы при переходе-к термодинамическому пределу.
§ 2 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
15
1) Различные Х} из решения системы (2.13) отделены друг от друга некоторым интервалом:
2к(п.—пк) , 2к(п,—пЛ 2к .
—^—-> X,-Xt j?=k. (2.23)
L 1 J k' L(\+2D/c) L(\+2D/c) J K ’
Здесь D = N/L—это плотность бозе-газа. Эту оценку легко получить из (2.21), используя следующие неравенства:
0<К(Х, ц)<2/с, Im Я. = Im (х = 0, (2.24)
1 2
e(a.)-e(n) = J*(v,0)«/v<-(a.-n); X>yL. (2.25)
м с
N
2) Функционал энергии ? Xj в секторе с фиксированным числом
j- 1
частиц N при условии, что {Х}} является решением системы уравнений Бете (2.13), минимизируется следующим набором целых чисел (при нечетных N) или полуцелых (при четных N) [1.7]:
7=1, ...,7V. (2.26)
(Это совершенно очевидно при бесконечной константе связи с= оо.)
3) Введем функцию Х(х) от вещественного параметра х, тесно связанную с решением {^} системы уравнений Бете Эта функция определяется соотношением
N
ЬЦх)+ ? Q(X(x)-Xk) = 2nLx. (2.27)
* = 1
Вводя действие S аналогично (2.15):
1 N
S=- LX2(x)+ ? Q1(X(x)-Xk)-2nLxX(x), (2.28)
2 k= l
легко показать, что каждому х соответствует единственное значение А.(лс). Легко также доказать, что функция X (х) является монотонно возрастающей (и взаимнооднозначной) функцией х. Значение этой функции в точках nJL нам известны:
X ^jj = Xr здесь л,е{и,}. (2.29)
Эти значения Xj мы будем называть значением импульсов частиц, присутствующих в состоянии %N (1.26). Возьмем теперь целое или полуцелое (соответственно для N нечетного или четного) число т не из набора {л,}: тф{п^. Значение функции Х(х) в точке m/L назовем значением импульса дырки Хт\
16 ГЛ. I. ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Таким образом, любое целое (или полуцелое) число л=[(Аг—1)/2] (modi) определяет вакансию. Заполненная вакансия — это частица, свободная вакансия—это дырка. Полное число всех дырок и частиц равно числу всех вакансий. Величина р,(Х),
(2.30)
называется функцией распределения вакансий. Дифференцируя соотношения (2.27) по X, получим
1 + 7 Е*(Ч4М = 2яр,. (2.31)
Ь k-I
О i метим, что иногда полезно рассматривать антипериодические ГраНИЧлЫС
Xn(zj + L)=~Xn(Zj) (2.32)
вместо периодических (2.1). Это приводит к исчезновению знака минус в правой части системы уравнений Бете (2.2). Все рассмотрение такой системы приводится аналогично.
Сделаем замечание относительно предела сильной связи с= оо. Легко видеть, что все уравнения значительно упрощаются. Уравнения Бете (2.2) превращаются в
e‘“J = (_l)N+i. (2.33)
Уравнения Бете в логарифмической форме имеют вид (см. (2.13)) Ы=2ппу (2.34)
Очевидно, что эти уравнения описывают свободные невзаимодействующие частицы. Так как выполняется принцип Паули (см. § IV.4), то в этой точке модель эквивалентна свободным фермионам (см. [1.11; 1.13]).
§ 3. Термодинамический предел при нулевой температуре
В термодинамическом пределе число частиц N в системе стремится к бесконечности пропорционально «объему» L (длине ящика), так что плотность D = NjL в конфигурационном пространстве остается конечной:
N~*cc, L->oo, D = N/L=const. (3.1)
Рассмотрим систему при нулевой температуре. Состояние с наиниз-шей энергией в секторе с фиксированным числом частиц N достигается, как упоминалось в предыдущем параграфе, на решениях X системы уравнений Бете:
Щ+? 0(Х}.-Ъ) = 2я
§ 3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
17
Числа rij здесь выбраны согласно (2.26). В термодинамическом пределе числа kj сгущаются: A,J + 1 — ^ = 0 (1/L) (см. (2.23)) и заполняют некоторый симметричный интервал [—q, q ]. Такое состояние на языке квантовой теории поля называется морем Дирака, а в физике твердого тела—зоной Ферми. Здесь
