Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Формула (1.26) и определяет бетевскую волновую функцию. Она двухчастично приводима. Заметим, что во всех моделях, решаемых с помощью анзатца Бете, волновая функция имеет вид, аналогичный
(1.26).
Обсудим подробнее свойства волновой функции. Функция xN является симметричной и непрерывной функцией всех zJt что становится очевидным, если переписать выражение для %N в виде
1n =--------------—
>/мГШ,-^)2+*2]
J>k
p j>fcL kpi)
(1.27)
§ 2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
11
Отсюда следует также, что Xn является антисимметричной функцией импульсов Xj:
3Cjv(zi> •••> ¦¦¦> ^jv) =
= —3Cjv(zi> •••> %l*i> •••’ ^/> •••> ^jv)- (1-28)
В частности, xw = 0, если Xj = Xk при }фк. Антисимметричность функции Xn является основанием принципа Паули для одномерных взаимодействующих бозонов, который крайне важен при построении основного состояния системы как моря Дирака (полное доказательство принципа Паули см. в § VI.4).
Физическое объяснение принципа Паули состоит в следующем. Известно, что в двумерном пространстве-времени не выполняется теорема о связи спина со статистикой. Некоторые бозонные модели эквивалентны фермионным, например, модель синус-Гордон — массивной модели Тирринга, одномерный бозе-газ при с= со — свободным фермионам. Эта эквивалентность и объясняет принцип Паули. Таким образом, мы построили совместные собственные функции (1.26) операторов Н, Р, Q. Собственные значения этих операторов имеют вид
EN=iti, pN= i к q»=n- (L29)
j=i j=i
Волновые функции (1.26) ортонормированы в RN [1.7]:
+ оо
J dNz ju(zt, ..., zN\Xv ..., XJV)xJV(z1, ..., zN|ц1; ..., цл) =
— CO
=(2*)"П8(А,-ц,). (1-30)
j=i
Здесь подразумевается, что импульсы {А,} и {\Xj} лежат в области Т: <А,2< ... <A,n, Hi<Иг< ••• <Mjv (1-31)
В той же работе доказана полнота этих собственных функций:
+ со
J dN"k Xn(zi> • ••> zN |A,t,..., Ajy) XN{yi’ Jjv l^i> ^jv) =
— CO
= (2кУ Y\b(zj-y]). (1.32)
j = i
Здесь {Zj} и {yj} лежат в области
T: zt<z2< ... <zN; yl<y2< ... <yN. (1.33)
§ 2. Периодические граничные условия
Для исследования многих свойств бозе-газа и особенно для построения термодинамики модели, удобно наложить на волновые функции периодические граничные условия. С этой целью поместим
12
ГЛ. I. ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
систему в периодический ящик длины L. Волновая функция будет периодична по каждому z} при всех остальных zk(k^j) фиксированных:
Xjv(zi> •••> ..., zN |A,ls ..., •••’ v l^i) •••) ^-jv)
j=\,...,N. (2.1)
Это приводит к следующей системе уравнений на разрешенные значения импульсов Xj (см. формулу (1-26) для %N):
eiKL=_flhzh±ll' j=i,...,N. (2.2)
t=1 Xj—Xk—ic
Уравнения (2.2) будем называть уравнениями Бете. Система уравнений Бете играет важную роль. Исследуем свойства этой системы более детально. Напомним, что о0 и L>0.
Теорема 1. Решениями системы (2.2) могут быть только вещественные числа Ху
Доказательство. Воспользуемся следующими свойствами функций exp \VkL) и (X + ic)/(X—ic):
ехр{г'АХ}|<1 при ImA,>0, ,
ехр {г'АХ} | > 1 при 1тА,^0,
X + ic
X — ic X + ic
>1 при ImX^O,
(2.4)
<1 при ImA.^0.
X — ic
Предположим, что j^-}— решение системы (2.2)—существует, причем Xj (j= 1,..., N) являются комплексными числами. Импульс с наибольшей мнимой частью обозначим через ^тах:
Im Xmax^lmXj, j=l,...,N, Xmaxe{Xj}. (2.5)
Если таких импульсов существует несколько, возьмем один из них. В системе (2.2) выберем уравнение, для которого Xj = Xmax, и вычислим модуль обеих частей этого уравнения, воспользовавшись неравенством
(2.4):
*шах-^ + 1С ^ j (2 6)
Г1
к Л,тах A,fc
Отсюда следует, что Im >.max<0 (см. (2.3)), а следовательно, используя
(2.5), получим
Im^O, j=l,...,N. (2.7)
Аналогично определим A,min: Im >.min < Im Повторяя рассуждения, получим O^Im^Tnin^Im Xjr Из этого неравенства и из (2.7) следует, что Im Xj = 0, j=l,...,N. Теорема 1 доказана.
Обсудим теперь существование решения системы (2.2). С этой целью прологарифмируем се:
<Pj = 2nn}, j=l,...,N; (2.8)
§ 2 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
13
здесь fij—произвольный набор целых чисел. Мы ввели также переменные
Ф; = ?М-1Ф(^-М; (2'9)
1
fc/j
здесь
Ф(А.)=Пп^±^, -2кФ(1)<0, 1тЯ, = 0. (2.10)
Удобнее вместо функции Ф(А) использовать антисимметричную, функцию 0 (к):
0 (Я,) = Ф (Я,) + п, 0(л)=-0(-Я). (?11),
Э.та функция является монотонно возрастающей, на вещественной! («да: 0 0{^“i) при А,2>А,1; 0(±°о)=+я, (Й'.Ш)1.
Перепишем систему (2.8) с помощью этой функции:
LXj+ ? Q(lj-lk) = 2nnj. (2.13)
fc=l
Здесь целые (или полуцелые) числа п- определены так:
»j = »j + (N-1)/2. (2.14»)',
Система (2.13) эквивалентна системе (2.2), Уравнения (2.13) мы также будем называть системой уравнений Бете.
Теорема 2. Решения системы (2.13) уравнений Бете существуют и единственным образом определяются набором целых (или полуцелых) чисел rtj.
Доказательство. Воспользуемся тем, что система (2.13) получается из вариационного принципа со следующим действием Янга:
I ^2-2* I + (215)
1 j = l j=l ~ j,k
X
здесь 01(Я,) = J 0(ц)й?ц. Уравнения (2.13) возникают как условия о
минимума этого функционала, 8S/8Xt = 0. Чтобы доказать теорему, достаточно показать, что функционал S является выпуклым и имеет единственный минимум. Для этого достаточно доказать, что матрица вторых производных действия d2S/d'kjd\k является положительно определенной (все собственные значения являются положительнылд»),. Приведем явный вид этой матрицы:
