Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.М. -> "Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи" -> 3

Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.

Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Коретин В.Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи — М.: Наука, 1992. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): korrelyacionniefunkciiintegriruemihsistem1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 84 >> Следующая

§ 1. Координатный анзатц Бете
Одномерный бозе-газ описывается нерелятивистским комплексным квантовым бозе-полем v(/(jc, /) с каноническими одновременными перестановочными соотношениями
!>(*, 0> '('Ч.У’ 0]=8(*-.>;)’
ал)
0(х, /), ty(y, г)] = [t+ (х> 0’ '11 + (У’ ?)] = °-
Все рассмотрения этой главы проводятся в фиксированный момент времени, поэтому временной аргумент t будем в дальнейшем опускать.
Гамильтониан модели имеет вид
Я=|^х[5ху)/ + (л:)5ху1/(х) + су1/ + (л:)у1/+(х)у1/(л:)у1/(л:)]. (1.2)
Здесь с—константа взаимодействия. Соответствующее уравнение движения
?d,v(/= — dl v(/ + 2cv(/+ (1.3)
называется нелинейным уравнением Шредингера. Нетривиальный термодинамический предел в этой модели возникает лишь при с> О (отталкивание). Ниже рассмотрен только случай о0. Фоковский вакуум |0>, который определяется соотношением
i|/(x)|0> = 0, хе Rlt (1.4)
8
ГЛ. I. ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
будет играть важную роль в дальнейшем. Мы будем называть |0> псевдовакуумом, чтобы отличить его от физического вакуума, который реализует основное (с наинизшей энергией) состояние модели и представляет собой море Дирака. Дуальный псевдовакуум <01 определяется как <О|=10>+ и обладает свойством
<0| ф + (х) —0, <010> = 1, (1.5)
крест означает эрмитово сопряжение. Операторы числа частиц Q и импульса Р имеют вид
Q = \^ + (x)^(x)dx, (1.6)
{^+(*R\k(x)-[dx\|/+(x)]\|/(*)}<&. (1.7)
Р=-1-
2
Они являются интегралами движения, т. е. коммутируют с гамильтонианом:
[я, е]=[#,/»]=о. (1.8)
Следует отметить, что в части II удастся построить бесконечный набор интегралов движения.
Приступим теперь к построению полного набора собственных функций гамильтониана. Совместные собственные функции I'Pjy) трех операторов Н, Р, Q будем искать в виде
14^, ..., А.и» =
= d"z &v(zi> -> znIXu •••> ^iv)'l'+(^i)-'l/+(%)|0>. (1.9)
Функция Xn является симметричной функцией аргументов Zj. Уравнения на собственные значения
Я|‘Р]У> = ^|‘РЛ>, G|4,w> = tf|4V. P\'Vn> = Pn\'?n> (1.10)
эквивалентны требованию, чтобы функция являлась собственной функцией квантовомеханического гамильтониана одномерного
бозе-газа и оператора импульса
N 7 д2 \ „ ^ ч ^ Д / . а
¦*V=I (-jp +2с X 5, (1.11)
j=l\ / N^j>k> 1 J=l\ d 1/
•^n Xn ~ En (1-12)
(заметим, что удается найти непрерывную собственную функцию).
Итак, задача квантовой теории поля сведена к задаче квантовой механики. Гамильтониан Ж N описывает N нерелятивистских бозонов с парным дельтаобразным потенциалом. При с>0 они отталкиваются. Благодаря симметрии функции %N достаточно рассмотреть ее в области
Т: zt<z2< ... <zN, (1.13)
а также на границе этой области.
§ 1. КООРДИНАТНЫЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
9
В этой области функция %N является собственной функцией свободного гамильтониана
На границе области выполняются следующие граничные условия:
Уравнение (1.14) и граничное условие (1.15) эквивалентны уравнению (1.12). Чтобы увидеть это, заметим, во-первых, что потенциал в гамильтониане (1.11) равен нулю в области Т (1.13). Во-вторых, проинтегрируем уравнение (1.12) по переменной (zj+1— z}) по малой окрестности нуля |zj+1 — г^|<е, считая, что все остальные переменные zk (к 1) лежат в области Т. Мы придем к граничному условию (1.15).
Теперь построим функцию %N, удовлетворяющую уравнению (1.14) и граничному условию (1.15). Для этого рассмотрим в области Т собственную функцию оператора Ж “, заданную как определитель матрицы NxN с элементами exp {i'kjzk}:
Важно отметить, что эта функция антисимметрична по z и, следовательно, обращается в нуль на границе области Т. Легко убедиться, что искомая функция %N имеет вид:
Очевидно, что %N удовлетворяет уравнению (1.14). Покажем теперь, что граничные условия также выполняются. Проверим, например, равенство
Заметим, что %N антисимметрична относительно замены z1<-»z2:
(1.14)
(1.15)
det {exp [/A,jzk]}.
(1.16)
(1.17)
(1.18)
Для этого запишем %N в виде
(1.19)
здесь
(1.20)
%n(Z 1> Z2)=-Зи(г2! zl) и обращается в нуль при zt=z2.
(1.21)
10
ГЛ I ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Перепишем соотношение (1.18) в виде
[(sr?) "р" <L22»
Левая часть этого соотношения меняет знак при перестановке zx и z2; отсюда следует его справедливость. Аналогично можно проверить все остальные граничные условия. Итак, выражение (1.17) удовлетворяет и уравнению, и граничным условиям. Таким образом, X,у (1.17)—это искомая собственная функция гамильтониана ЖN
(1.11). Перепишем по-другому явное выражение для %N. Для этого запишем определитель (1 16) как сумму по перестановкам N чисел 1, 2, ..., N:
det{exp=?(— 1)[Р]ехр{г ? zn\ }, (1.23)
Р Л=1
где [Р ] — четность перестановки Р. Для волновой функции в области Т (1.13) получаем:
х*={^П[(^-^)2+с2]Г1/2х
j>k
Ы-1)1Р]е‘^КтКгХ»к-")- (1-24)
х
Р j>k
Это соответствует следующему выбору константы в (1.17):
const = (-;)NW"1)/2{^! П[(^-М2 + с2]}"1/2- (1.25)
j>k
Теперь продолжим функцию %N по симметрии из области Т во все RN: ^ = {^!П[(^-^)2 + с2]}'1/2х
l>fc N
х Е(-1)[Р1е - ¦ П (^р~Кк~icе(ZJ~zk))> (!-26)
j>k J
здесь e(z) = signz—знаковая функция. По-видимому, впервые способ построения бетевской волновой функции, изложенный выше, был предложен Годеном.
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed