Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
(5.20):
р {q, Ю- (5-21)
Подставляя сюда т\> (q) из (5.20), мы увидим, что возникают интерференционные члены типа ipx(q) (q')-
Это обстоятельство и послужило основанием для названия рассматриваемых ансамблей когерентными.
Нетрудно показать, что общий статоператор (5.21) так же, как и более частный (5.14), удовлетворяет условию р2=р.
Условие (5.1) позволяет назвать статоператор когерентного ансамбля оператором проектирования. Рассмотрим любой вектор в пространстве Гильберта Ф(^), подействуем на него оператором р (5.21) и получим (см. дополнение 5)
рф(9)--=4>(9)(ф. 'l’). (5-22)
где <Ф, — определенное выше скалярное произ-
ведение.
20
Из вектора Ф(q) оператор р (5.21) вырезает кусок, параллельный •ф(д), и длина функционального отрезка равна <Ф, i])>. Это и есть проектирование Ф на г)з. Полагая в (5.22) Ф (<7) =i|) (9), получаем
(так как <i|), -ф) — I). Из этого видно, что любой проекционный оператор имеет одно-единственное собственное значение Х=+1.
Отметим еще одну важную формулу: любой эрмитов оператор 9? можно записать в виде разложения по операторам проектирования
где к — собственные значения оператора S; статопе-
Оператор dp* был определен ранее. Соотношение
(5.24) проверяется подстановкой его в (5.13).
В заключение покажем, что изменение волновой функции tyiq) во времени подчиняется уравнению Шредингера. Для этого применим уравнение движения для статоператора р (4.20) к специальному случаю когерентного ансамбля, когда элементы р имеют вид ¦ф((/)^*((//). В раскрытом виде уравнение (4.20) гласит:
где ft(q, q') — матричный элемент оператора Гамильтона. Подставим в это уравнение p(q, q') в виде
(5.21) и разделим результат на ty(q)ty* (q')\ затем соберем члены, зависящие от q и q'. В результате получим
Р'И<7) = 'Ж)
(5.23)
(5.24)
ратор р — собственный статоператор оператора S’.
-p(q, q") Н (q", q’))dq" = 0, (5.25)
(5.26)
30
»то равенство возможно только в том случае, если каждое из выражений, зависящих одно от q, другое от q', постоянны и равны друг другу с обратным знаком. Если обозначить эту постоянную (i/h)E0, то выбор постоянной Ео, как нетрудно проверить, означает выбор отсчета потенциальной энергии. Поэтому без ограничения можно положить ZTo—О. Тогда из (5.26) получаем уравнение
= m(?'W (5.27)
и второе уравнение, комплексно сопряженное к приведенному. Уравнение (5.27) есть уравнение Шредин-гера в координатном представлении. Таким образом, доказано, что описания когерентного ансамбля статоператором и волновой функцией эквивалентны.
В связи с этим заметим, что волновую функцию нельзя считать величиной, которую можно приписать отдельной микрочастице. Никаким способом ее нельзя измерить, экспериментируя с одной частицей. Волновая функция ty(q) так же, как и статоператор р, характеризует принадлежность микрочастицы к определенному квантовому ансамблю, суть которого была описана в лекции 4. Измерением в когерентном ансамбле волновая функция ф(<?) может быть найдена, но, конечно, с точностью до постоянного нормировочного множителя.
ЛЕКЦИЯ 6.
ВЕРОЯТНОСТИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ
Обратимся сначала к унитарным преобразованиям операторов р и 9?. В пространстве Гильберта такое преобразование можно рассматривать как поворот, т. е. переход от одной ортонормированной системы векторов ^(д) к другой i|i»(q).
Покажем теперь, что эти функции могут выступать и в другой роли: в роли матричных элементов унитарного преобразования Я Определим элементы что го преобразования с помощью соотношения
S(K q)=fy*{q), (6.1)
31
а элементы обратного преобразования .s ' через соотношения *
S-4<7, Я,)=фх(7). (П.2)
Перемножим теперь матрицы (6.1) и (6.2); по .чакону умножения матриц
jS(X, q")dq"S-A(c,", X')dq"~
^ I 4V iff) (<?") dq" - 6 (Х-Г). (6.3)
Условие полноты системы ортонормированных функций (5.16) позволяет доказать также и равенство S-IS=1. Именно из него следует, что
JS~‘(7, K’)S(l", q')dr^S(q-q'). (6.4)
Далее, согласно (6.1) и (6.2) S_I=S*, поэтому преобразование с такими матричными элементами — унитарное. Это преобразование позволяет нам переходить из одного представления операторов в другое. В частности, преобразование с элементами (6.1) и
(6.2) позволяет переходить из координатного представления в пространстве переменных q — 2ft{q) в пространство переменных X — Я(>.), которое является пространством собственных значений некоторого оператора 3?, представляющего динамическую переменную L.
Если оператор S’ задан в пространстве R(q) своими матричными элементами 5?(q, q'), то унитарное преобразование (6.1) приведет его к диагональному виду. Действительно, элементы преобразованного оператора Sf' равны элементам SSS-K В раскрытом виде элементы оператора S’' в L-представлении (в пространстве &(Х)) следующие:
X'(X, У) = ^ i|>x (q) dq<? (q, q')y\\(q')dqdq’ =
= ^ ^x(q)^v{q')dqdq' =Х'Ь(Х~X'). (6.5)
* Заметим, что в формулах (6.1) (6.2) строчки и колонки
матриц нумеруются в разных пространствах 3?(<?) и 91{К).
32
Для^дискретного спектра к=ки к2, ..., кп, . ¦. элементы 2' имеют вид
<?'{п, т) = ХпЬпп, (6.6)
