Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам" -> 8

Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам — МГУ, 1988. — 112 c.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehanika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 16 >> Следующая

ЛЕКЦИЯ 5.
ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОГО АНСАМБЛЯ
В этой лекции будем рассматривать специальный, но очень важный класс квантовых ансамблей, который характеризуется тем, что статистический
25
оператор подчиняется условию
р2 = р. (5.1)
Такой ансамбль называют когерентным, или чистым *.
Рассмотрение такого ансамбля позволит нам ввести в теорию важнейшее понятие волновой функции и показать эквивалентность описания когерентного ансамбля с помощью статоператора рис помощью волновой функции 1]-. Рассмотрим среднее квадратичное отклонение какой-либо динамической переменной, изображаемой оператором IF. Обозначим через X среднее его значение L. Оператор отклонения от среднего будет AS?=3?—'k, а оператор квадратичного отклонения — Ai?2.
Среднее значение оператора квадратичного отклонения на основании общей формулы дтя среднего
(4.11) будет иметь вид •
Ai?2=Sp (nA,2?2). (5.2)
В частном случае когерентного ансамбля (5.1) можно заменить в (5.2) р на р2; тогда получим
AF=Sp(p2A^2). (5.3)
Пользуясь возможностью циклической перестановки множителей над знаком Sp, заменим p2i?2 на AiiPppAi?. Обозначая теперь Л==Л.?’р, имеем Сг=
=р+А57+; в силу эрмптовопн р и ,\Ф С —-pAS7.
Поэтому (5.3) можно переписать в виде
AT2=Sp(CC^). (5.4)
Рассмотрим теперь такой специальный случай, когда
AL2=0. (5.5)
Тогда из (5.4) следует
Sp(CC'-)-0, (5.6)
* Термин когерентный апммпль Пил ниеден К. В. Никольским [9], термин чистый ппс:шГ>ль - фпм 1 К'пм.ш.лт [8]. Тор. минолопш Никольского, пл мои влгля •/. точнее ои>Г>р:>жгл'т суть дела.
26
иными словами, взят такой ансамбль, в котором динамическая переменная L имеет лишь одно определенное значение L=K. Это возможно лишь в том
случае, когда
С=е+ = 0 (5.7)
(см. дополнение 5). Имея в виду получение операторов С, Cj и оператора получаем из (5.7)
два уравнения:
S’p^Xp, р?Р=Я,р, (5.8)
или в раскрытом виде:
f&iq, <у")р(<Л q')dq"=Xp(q, q'), (5.9)
fp(q, q")&(q", q')dq"=kp(q, q'). (5.10)
Такие уравнения для матричных элементов статопе-ратора р можно свести к уравнению для «волновой» функции ^\{q) и уравнению для функции Цн*^'), комплексно-сопряженной •'
\ 2 (q, о") {q") dq" = (q)\ (5.11)
\ЬЛЧ")2(Я\ q')dq" -ИъОЛ- (5.12)
В силу эрмитовости &, & (q", q')=2’*(q', q"), так
что уравнение (5.12) попросту комплексно-сопряженно к (5.11). Поэтому достаточно рассматривать только (5.11). Коротко оно записывается в виде
(5лз)
а искомый матричный элемент оператора р, принадлежащий значению L-Х, оказывается равным
i(q, q') = ^(q)^t(q')- (5-14)
Доказательство этой формулы приведено в дополнении 5.
Статоператор (5.14), удовлетворяющий уравнению (5.8), будем называть собственным статоператором оператора 9?. Из теории линейных уравнений с самосопряженными операторами (2>=2>+) известно, что уравнение (5.13) имеет корректные (регулярные) ре-
27
шенйя только для определенных значений параметра Я2, Xs...............Эти значения называются соб-
ственными значениями оператора S, а соответствующие функции 1рл(<7) — собственными функциями этого оператора. Во многих случаях спектр собственных значений Я может быть и непрерывным или кусочно-непрерывным.
Собственные функции ^\(q), принадлежащие различным Я, ортогональны. Их можно нормировать в пространстве &t(q) на единицу. Последовательность функций ^(q), tyitiq),. .., tyks(q), ... образует орто-нормироваиную систему функций в функциональном пространстве Гильберта ф. Условие нормировки и ортогональности записывается следующим образом: для дискретного спектра Я
5J Ы<7) %(q)dq =8kll, (5.15)
для непрерывного спектра Я
)Ь. (q)dq-f>(X — X'). (5.16)
Оба уравнения можно записать в виде символического скалярного произведения
<"Фх. 'Фц) = (\ц- (5Л7)
Собственные функции гр*,(<7) обладают также свойством полноты:
J'М?)1!5* (?')<& = 6 (<7—<7'). (5Л8)
которое можно записать кратко в виде символического разложения единицы по операторам проектирования:
$Фл=1, (5.19)
где dpx = tyk(q)ty*k(q')dX для непрерывного спектра или Фх=][]г|\((7)'фА.(<7')б(Л—Для дискретного
П
(Я=Я], Яг, Хп, ...). Мы не будем более подробно
останавливаться на теории уравнения (5.13), поскольку она хорошо описана в курсах квантовой механики.
28
Важно, что, исходя из теории статистического оператора, мы пришли к понятию собственных функций операторов &, образующих в пространстве Гильберта ортоиормированиые последовательности функций ty>.(q). Это позволяет нам определить любую волновую функцию — вектор в пространстве Гильбер-
та &(гр) — спектральным разложением по ортонорми-роваппым функциям грл.(<7):
'И?) = J (5-20)
где dcx — амплитуда волны Цзх(д). Запись этого разложения в виде (5.20) пригодна как для непрерывного спектра, так и для дискретного. В первом случае йск—с (Я,) dk\ во втором dc^ = ^c(X)6(X—%n)dX,
П
и интеграл (5.20) переходит в сумму по дискретным значениям Х=Хп, с(к) =с(Х„) s=cn. Разложение
(5.20) — представление любой волновой функции в виде когерентной суперпозиции частных волновых функций г|>х. Статоператор р когерентного ансамбля можно построить не только па основе собственных функций грл.(<7) какого-либо оператора & [см. (5.14)], по н на основе любой их когерентной суперпозиции
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 16 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed