Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
1-. Sp(pjf). (4.11)
В дополнении 3 показано, что формулы (4.10) и
(4.11) отличаются от соответствующих формул классической статистической механики (3.9) и (3.10) только изменением закона умножения.
Операторы S' и 2" считаются эквивалентными, т. е. представляющими одну и ту же физическую величину L, если они связаны друг с другом унитарным преобразованием
(4.12)
где S — унитарная матрица; .S’’ - обратная ей мат-
рица, которые определяются соотношениями
SS~! — S~‘S — 1; ST1., S', (4.13)
т. e. комплексно-сопряженная матрица S* равна обратной S~[. Унитарное преобразование обладает важнейшим свойством: оно сохраняет канонические соотношения (4.5), так что новые переменные С]'---
* В последующем будем опускать индекс И но ею неявное присутствие не должно забываться.
22
— SqS~' и j6'=SpS~] подчиняются также соотношениям (4.5) (см. дополнение 4). Поэтому унитарное преобразование можно также называть каноническим. Это преобразование оставляет также неизменным условие нормировки (4.10) и формулу для вычисления среднего (4.11), т. е. Spp'=Spp и L=L'. Эти утверждения вытекают из известной возможности переставлять циклически множители, стоящие под знаком Sp (доказательство см. в дополнении 4).
Рассмотрим теперь бесконечно малое унитарное преобразование динамических переменных. Его можно записать в виде
S ~exp(\Ada/h) — (1 + iAda/fi + ...), (4.14)
где А — некоторый эрмитов оператор (Д+=Л); а —
параметр преобразования. Подставляя (4.14) в формулу (4.12), получаем
— jt + [A,J&] da. (4.15)
Оператор (2"—3?)!da следует рассматривать как оператор dSfjda, представляющий производную оператора по а. Если оператор 2? явно зависит от а, то необходимо учесть частную производную di?/da; таким образом, можно написать
dj?lda — dj?/da + [А, <?]. (4.16)
Это важное соотношение позволяет придать смысл понятию производной оператора по параметру.
В классической механике движение можно рассматривать как последовательность бесконечно малых канонических преобразований от q(t), p(t) к q(t+At), p(t+At). Такое понимание движения переносится и в квантовую механику. Если в бесконечно малом унитарном преобразовании под параметром а разуметь время, то формула (4.16) определяет производную оператора по времени. Оператор А в этом специальном случае называется оператором Гамильтона Й=Й(... р ... q, t). Он характеризует каждую квантовую систему. В частном случае, когда этот оператор не зависит от времени t, он совпадает с операто-
23
ром полной энергии системы. Согласно (4.16) оператор производной по времени
dj?/dt =d<?ldt +[Н, 3]. (4.17)
Если Я — оператор полной энергии, то из (4.17) получаем
dHjdt = [Н, Н] = 0, (4.18)
что выражает па языке операторов закон сохранения энергии. Применяя (4.17) к статистическому оператору р, получаем
dp/dt — dpldt + [H, р]. (4.19)
По аналогии с законом движения для классической плотности р (2.18) на основании (4.19) постулируется закон движения для статистического оператора р:
dp/di = 0 или dpjdt + [H, р] = 0. (4.20)
Из этого уравнения получаем сохранение нормировки оператора р (4.10) *:
Sp (ir) = 1Г Sp р = ~Sp 1[~И’ р] = 0- {4-21)
Основное уравнение (4.20) допускает формальное решение (для случая dB/dt=0):
р (t) = exp (iHt/ti) fT(0) exp (— iHt/h), (4.22)
где p(0) — статоператор при ^=0; p(t) — этот же оператор при ^>0. Однако раскрытие лаконичной операторной записи (4.22) редко бывает легче решения уравнения (4.20), которое обычно оказывается дифференциальным уравнением в частных производных. Во многих важных задачах оператор Гамильтона можно разложить на сумму:
Я=Яо+№, (4.23)
* Следует заметить, что при обращении с операторными формулами необходимо соблюдать осторожность: в некоторых случаях такие выражения, как ЭрЛ, могут расходиться; тогда полезно прибегать к ограничениям, а потом переходить к нужному пределу.
24
где Я о представляет энергию рассматриваемой квантовой системы, состоящей из двух или более частей, без взаимодействия их между собой, W — энергию их взаимодействия. Величина Йо может также представлять энергию системы саму по себе («свободной» системы), a f - энергию ее взаимодействия с внешним полем. В этих случаях оказывается целесообразным перейти к представлению, называемому представлением взаимодействия. Оно определяется с помощью следующего унитарного преобразования:
р'^ехр (\Й01/Н) р exp (—iBQijh), (4.24)
i?'=exp ([fi0t/h)3’exp (—iB0tjh), (4.25)
и в отличие от (4.22) вычисление явного вида р' и 3" не представляет труда.
Энергия взаимодействия W, конечно, преобразуется так же, как и любой другой оператор 3?\
Ш"=ехр (\П01/Н) exp (—iBatjh). (4.26)
Операторы p', W', S' будут теперь явно зависеть от времени даже и в том случае, если р, №, S не зависимы от времени. Выражая р и # через р' и W и подставляя эти выражения в (4.20), получаем новое уравнение для р':
dp'/dt+lW', р']=0. (4.27)
Это уравнение выгодно отличается от (4.20) тем, что оператор р' при слабом взаимодействия W (t) медленно зависит от времени (при \Р'^0 dp'/dt = 0). Поэтому представление взаимодействия полезно при решении уравнения (4.20) методом теории возмущений.
