Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
р (z, t) =р (z)exp (iat), получим уравнение
+ = (3.18)
дгг z dz \ ш0 z / которое имеет решение*
p(2)=exp(±2)IFI(1/2±w/ft>o; 1; ±2г). (3.19)
ЛЕКЦИЯ 4.
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
КАК ОБОБЩЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Объектом применения квантовой механики является квантовый ансамбль. Подобно ансамблю Гиббса, квантовый ансамбль образован неограниченным повторением ситуаций, состоящих из определенной макроскопической обстановки М и погруженной в эту обстановку микроскопической системы ц (см. рис. 2). Пусть система ц характеризуется набором переменных L=(Lb L2, ..., Lj) (f — число степеней свободы). Пусть в первом измерении L=L', во втором L=L", в я-м L=L<n> и т. д. Предполагается, что в этих условиях результаты измерений L имеют определенное воспроизводимое распределение dW (L) (для непрерывной переменной dW (L) =р (L) dL). Однако это распределение основано на совсем новых законах движения, характерных для квантовых явлений.
Наиболее важной чертой квантового ансамбля является тот факт, что среднее квадратичное отклонение координаты A q2 зависимо от среднего квадратичного отклонения сопряженного ей импуль-
* См.: Ватсон Г. П. Теория бсссслсвых функций. Ч. 1. М., 1949. С. 110—119.
19
са Ар2. Они связаны знаменитым соотношением
«неопределенностей» Гейзенберга [6]:
&p2~Kq2^n2/4. (4.1)
Это соотношение может рассматриваться как математическое выражение принципа дополнительности Н. Бора. Согласно этому принципу динамические переменные, характеризующие микросистемы, распадаются на два взаимно дополняющих друг друга класса: пространственно-временные переменные Q и импульсно-энергетические переменные Р, относящиеся к исключающим друг друга, несовместимым, измерениям. Из (4.1) следует, что никаким выбором результатов измерений нельзя получить квантовый ансамбль, в котором отсутствовала бы статистическая дисперсия по всем динамическим переменным, иными словами, ансамбль, в котором все динамические переменные L имели бы определенное значение L = L'. Всегда найдутся переменные, для которых среднее квадратичное отклонение АЬ2Ф0. Поэтому в квантовой области статистика пе устранима в принципе. Будем рассматривать квантовую механику как обобщение классической статистической механики, данной в координатном представлении в сдвоенном пространстве конфигураций &(q, q').
Суть необходимого обобщения заключается в замене коммутативной алгебры (3.12) динамических переменных и их функций на некоммутативную алгебру, в которой АВФВА. Эта программа реализуется заменой классических компонент Фурье A(q, 1) = =Л(<7, q'), изображающих классические динамические переменные в пространстве 3Z(q, q'), на элементы матриц A(q, q ), закон умножения С=АВ которых имеет вид
C(q, q')= А В (q, q’)=\A{q, q")B(q", q')ckf. (4.2)
В общем случае АВФВА, так что возникает новая некоммутативная алгебра.
Исходными динамическими переменными, характеризующими квантовую систему, являются канонические импульсы ps (5=1, 2, ..., /), изображаемые теперь операторами ps, и сопряженные им координа-
20
ты qs (s=l, 2, /), изображаемые оператора-
ми els.
Другие динамические переменные, аналоги классических 3? (q, р), изображаются операторами SP, которые являются функциями операторов р, q\
S = S{p, q). (4.3)
Операторы, представляющие действительные физические величины, должны быть эрмитовы, т. е.
&=§+. (4.4)
Это условие в раскрытом виде записывается так: 3?*(q, q')=&* (q', q) (* — знак комплексного сопряжения). Условие канонической сопряженности величин, изображаемых операторами р, cj, постулируется в форме
[р.. А-1 = 0; [?.. 9л] = 0; [Ps, <7,] = 6sr. (4-5)
где [А, В] — квантовая скобка Пуассона:
[АВ]^-1{АВ~ВА)/П. (4.6)
Условия (4.5) должны рассматриваться как условия «квантования» классических величин, впервые установленные Гейзенбергом (историю их см. в [7]).
Операторы р и q, удовлетворяющие каноническим условиям (4.5), в представлении в пространстве &{q, q') имеют вид
р(<7, q') ih db(qa- q (4.7)
dq
НЧ, <7')=<7'в(<7,-<7) (4.8)
и отличаются от соответствующих классических обобщенных функций pqq> и qqq’ (3.5) и (3.6) только законом умножения (4.2) вместо (3.12) и заменой произвольной постоянной h' на постоянную Планка ti. Доказательство того, что (4.7) и (4.8) удовлетворяют условиям (4.5), дано в дополнении 2.
В соответствии с развиваемой программой построения квантовой механики предполагается, что квантовый ансамбль, состоящий из микросистемы jx, определяемый макроскопической обстановкой М, опи-
21
сывается статистическим оператором, или матрицей плотности:
Рм^Рм- (4-9)
Мы будем пользоваться первым термином н обычно в сокращенной форме: р,и называют статоператпром. Этот оператор был введен фон Нейманом [8]. Оп имеет в пространстве $(q, q') матричные элементы Рм{с/, Я') и играет в квантовой механике ту же роль, что и фурье-компонента плотности вероятности рм{ц, |)=рм(<7, q') в классической статистической физике*. Оператор р нормируется па единицу:
Sр р= 1, (4.10)
где знак Sp означает сумму диагональных элементов оператора (след матрицы). Связь с наблюдаемыми величинами устанавливается определением среднего значения L величины L, изображаемой оператором 3? в ансамбле, описываемом статистическим оператором р:
