Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
Часто интересуются не столько совместным состоянием систем А и В, сколько состоянием малой системы А. Статистический оператор рл(0> определяющий состояние системы А, в момент времени t при любом состоянии системы В выражается через статистический оператор рав{1) с помощью следующей формулы:
M0=SP ^PAB(t), (П.6)
где след Sp(B) берется только по переменным системы В, т. е. в пространстве 95.
Построить точное уравнение движения только для оператора рл (t) невозможно. Однако возможны различные приближения. Если влиянием системы А на большую систему В можно пренебречь, то рв(/) = = рв(0), и следовательно, рлл(0 = рл (Орв(0)- Подставляя это выражение для статистического оператора в уравнение (11.3) и замечая, что
Sp<B>pB(0) = l; SpW[//B, рв(0)]=0, (11.7)
получаем уравнение для рл(0:
dpA(i)/dt+[HA, pA(t)] + [WA, pA(t)]=0, (11.8) где оператор
^ = Sp<B>l^s (11.9)
и представляет собой взаимодействие $лв, усредненное по состояниям системы В. В таком приближении система В создает некоторое внешнее поле, действующее на систему А. Нетрудно доказать, что из
условия Wab = Wab следует эрмитовость Wa = Wa
и сохранение нормировки
SPP л = 0 • (11.10)
at
55
Возможность сведения общего уравнения (П.З) к «управляющему» уравнению (11.8) (система В управляет системой А) представляет собой серьезное упрощение проблемы, но все же это уравнение может быть очень полезным в тех случаях, когда существенно среднее поле, создаваемое системой В*. Такое приближение можно взять также в качестве нулевого приближения с тем, чтобы позднее учесть отклонения координат системы В от нх средних значений.
Возможны и такие любопытные случаи, когда систему В можно описать классической статистической механикой. В этом случае состояние системы В задается плотностью р(<7, р) в фазовом пространстве 9t{q, р) или в пространстве 9t(q, q') с помощью фурье-образа p(q, |); %—q'—q (см. лекцию 3). По поводу теории открытых систем существует обширная литература. Помимо классических работ Н. Н. Боголюбова [14—16] см. также [17—20].
Важным классом открытых систем являются системы, в которых малая, микроскопическая система А управляет состоянием большой, макроскопической системы В. Такая ситуация осуществляется во всех приборах, предназначенных для измерений в области квантовых макроскопических явлений**; образно можно сказать, что микросистема ц обязана в этом случае сдвинуть «стрелку» прибора, поставив ее в положение, определяемое микросистемой ft. Ясно, что такое течение явлений возможно лишь в том случае, когда измерительный прибор (большая система В) является макроскопически неустойчивой системой. В противном случае частица ц (малая система А) не сможет изменить макроскопическое состояние большой системы В из-за недостаточности у нее энергии и импульса.
Найдем условия, налагаемые па статистический оператор, описывающий процедуру измерения. Пусть малая система А — микрочастица р., описываемая динамическими переменными х=(хи х2, ..., Xf), а система В — макроскопически неустойчивая система, описываемая переменными Q~(Qu Q2, Qv)
* Например, Л есть том, догруженный и члокiроппую плазму В.
** Существуют макроскопические кпаитопыо системы, например сверхпроводники и сверхтекучие жидкости. В дальнейшем они не обсуждаются.
56
(Л/ — большое число). Эта система и будсг служить измерительным прибором. При t = 0 их общий статистический оператор рлл(О) имеет вид (11.2), причем (> 1 (0) и рв(0) имеют матричные элементы:
рЛ0)=(х|р?К>; Pb(0)=<Q|pc|Q/). (11.11)
Оператор рс(0) описывает неустойчивое состояние системы В при Оператор рлв(0 вычисляется из
(11.3), которое в представлении взаимодействия принимает следующий вид:
dpAB(t)ldt-\-[WAB(t), рла(01=0. (11.12)
Для краткости матричные элементы оператора (Мв(0 обозначим р(х, Q\х', Q'; /), где чертой отделены строки от колонок. Разложим этот оператор по собственным функциям некоторого оператора 3!(х), который представляет измеряемую величину L, имеющую собственные значения Ln и собственные функции \1>л(х). Тогда получим
p(*,Q|*\Q';0 = ? 0Ы*)*»(*')• (И-13)
п,т
Макроскопическая система В будет служить измерительным прибором для определения величины L, присущей микрочастице р, если с течением времени t исчезнут интерференционные члены в (11.13), т. е. требуется, чтобы для некоторого t>Ti>0
?««(Q|Q'; 0=0, пфт. (11.14)
Тем самым выполняется условие о том, что прибор действует как спектральный анализатор, разлагая общее состояние в спектр по «пучкам» г|5Я(;е), каждый с определенным значением L=L„. Иными словами, статистический оператор (11.13) превращается в статистический оператор, представляющий смесь состояний по признаку L = Ln для t>Tг.
P(x,Q\x',Q';t) = ?R„(Q]Q';t)rt>n(x) %(х’). (11.15)
П
Интересующая нас вероятность того или иного состояния пашей системы определяется диагональными
57
