Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
\2,Л]ФЪ. (10.8)
В силу соотношения (6.21) в исходном ансамбле АМ2>0. Если собственные значения оператора Ж есть ць Ц2, • • •, p.s, ..., а собственные функции суть Фи(9), то волновая функция ^(д), описывающая исходный ансамбль, — когерентная суперпозиция функций <р(1(<?):
'M?) = ^4(|i)q>ii(<7). О0-9)
р.
Анализатор прибора раскладывает эту суперпозицию на пучки, каждый с определенным значением VW = |is. Экземпляры с определенным М собираем в соответствующие «ящики». Таким путем из одного чистого исходного ансамбля р* возникло несколько чистых, когерентных ансамблей рЙ1, рц2,'... , Рцп, .... Во всех этих ансамблях энтропия равна нулю. Поэтому полученная информация I в этом случае равна нулю.
51
Этот результат не должен казаться странным, так
как во BHoBji__возникших когерентных ансамблях
АуИ2 = 0, но AL2>0. Мы получили информацию о величине М, но потеряли информацию о L. В частности, если L и М — канонически сопряженные величины, то
1, (10.10) AZAW>ft2/4. (10.11)
Измерять изменение информации в когерентных квантовых ансамблях в терминах энтропии уже невозможно, поскольку она все время остается равной нулю. Поделим (10.11) на й2/4 и введем безразмерные квадратичные дисперсии AL2 и AM2. Беря логарифм от полученного выражения, найдем
(—1пД12) +(—1пАМ2Х0. (10.12)
Если каждое из слагаемых рассматривать как меру информации о L и М (соответственно) в когерентном ансамбле, то (10.12) указывает верхнюю границу для этой информации и взаимную дополняемость информации об L и М.
В заключение приведем некоторые формулы, относящиеся к квантовому ансамблю, находящемуся в равновесии с термостатом температуры © = &Г (Т — абсолютная температура). Макроскопическая обстановка М вполне определяется таким термостатом.
Эго равновесный квантовый ансамбль Гиббса. Распределение в данном случае является каноническим:
Рх~ехр(—EJQ), (10.13)
где Ек — энергия микросистемы ц в состоянии X.
Условие нормировки приводит к выра-
i
жению
P, = exp{(F(0) -?,)/©}, (10.14)
где F (0) — свободная энергия системы. Из условия нормировки на единицу имеем
ехр (/70) - Z-1 (0); Z (0) = ? ехр (- Е*/0), (10.15) где Z(Q) называется суммой состояний.
52
Подставляя 1\ и t (10.14), найдем in формулы
(10.1) дли энтропии
S = — /г{//В—/7/В} ¦(/•- /•)/'/', (10.16)
где Е — средняя энергия системы. Из (10.16) следует известная формула F--^E—TS. Статистический оператор для канонического ансамбля имеет матричные элементы:
Мя,4') =- Jexp[(f'--?J/0J^(v)^(7'). (10.17) я
где tjix(v) — собственная функция оператора энергии Й:
#i|>*(<7)=?*i|>a(<7). (10.18)
отсюда
!(Я)Ь(Я)=1(Е,)ЫЯ)- (10.19)
Это соотношение позволяет записать (10.17) в символическом виде:
ро = ехр(/70Иехр [—B{q)IQ]dpx, (10.20)
и, следовательно, величина — —р9ехр(—F/Q) удовлетворяет уравнению
с)R!d$ = R(q)R. (10.21)
Здесь р=1 /©. Это уравнение замечательным образом совпадает с уравнением Шредингера с «мнимым» временем t=ih$. Причем t=0 отвечает |3 = 0, т. е. бесконечно высокой температуре 0.
ЛЕКЦИЯ И.
ТЕОРИЯ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ И ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ
Под открытой квантовой системой понимается система Л с ограниченным числом степеней свободы /л, взаимодействующая с другой системой В, имеющей неограниченное (или очень большое) число степеней свободы /д. Координаты системы А обозначим лг= (х\, Х[а), а координаты системы В обозначим
Q=(qu </fis); [в>1. Пусть состояния системы А сосредоточены в гильбертовом пространстве §(, в котором заданы ортонормированные функции cpa(-t).
53
Состояния системы В сосредоточены в пространстве 95, в нем заданы ортонормированные функции t|)p(Q) (а — динамические переменные системы А; Р — динамические переменные системы В). Оператор Гамильтона всей системы (А + В)
Й=ЙА(х)+Йв(С1) + Wab(x, Q), (11.1)
где Йа(х) — гамильтониан изолированной системы A; HB{Q) — гамильтониан изолированной системы В\ WAB{x, Q) — энергия взаимодействия систем А и
В. Предполагается, что для ^0 Wab(x, Q) = 0. В момент / = 0 состояние системы А характеризуется статистическим оператором рл(0), определенным в пространстве у, а состояние системы В — статистическим оператором рв(0), определенным в пространстве 58.
Статистический оператор для всей системы обозначим рлв, и действует он в пространстве Согласно предположению при ? = 0
рлв (0) = рл (0) рв (0). (11-2)
Чтобы найти оператор рлв(0> описывающий состояние взаимодействующей системы (А + В) для />0, необходимо решить уравнение
dpAe/dt+ [//, рлв] =0 (11.3)
с начальным условием (11.2) и гамильтонианом (11.1).
Решение уравнений подобного типа, содержащих большое число переменных (система В), представляет собой труднейшую математическую проблему. Существенный вклад в преодоление этих трудностей внес Н. Н. Боголюбов [14, 15].
Формальное решение уравнения (11.3) можно записать с помощью унитарного преобразования:
рлв (0 = exp (mt)pA (0) рв (0) exp (—i#f), (11.4)
где Й — оператор Гамильтона (11.1). Это же реше-
ние можно представить в виде ряда Тейлора по степеням времени t:
pAe(t) =exp(Zi)pA (0)pa(0), (11.5)
54
где Z — оператор взятия скобок Пуассона, т. о. Z()= [//, р]. Разлагая (11.5) по степеням /, получаем |)яд, коэффициенты которого суть «-кратные (п- О, 1, 2, ...) скобки Пуассона. Эти скобки имеют смысл л-й производной по времени от р: Znp = dnpldin. Поэтому представление (11.5) эквивалентно ряду Тейлора.
