Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
Это справедливо при перестановке координат. При перестановке импульсов знак у фазы противоположный. При перестановке частиц >R(q, р) не меняется. В предыдущих лекциях указывалось, что квантовое уравнение движения для статистического оператора !>(/) формально переходит в классическое при Н->О и при ;i(iciaio4ii(iii гладкости потенциала и начальною г I ;i! m I М'кч'кпгп ппорлтра (>(()).
В этой связи следует подчеркнуть, что свойства симметрии не могут исчезнуть при Н^уО. Симметричный или антисимметричный статистический оператор обычно содержит существенную особенность по h как параметру. Это свойство ясно видно из формулы (9.7), когда статистический оператор дан в пространстве Щц, р).
Простым примером поясним суть дела. Пусть имеются две тождественные свободные частицы 1 и 2, имеющие координаты х, и х2, импульсы pt и р2. Несимметризованная волновая функция ij) имеет вид произведения двух волн:
¦ф(*1, х2) — exp (ipiXi/h) exp (ip2x2/h). (9.8)
Диагональный элемент соответствующего статистического оператора определяется равенством
р(хи х2; х,, x2)=yp(xh x2)ip*(xu х2). (9.9)
Для симметризованных состояний
¦ф(*1, х2) ={exp(iplxl/h)exp(ip2x2/h) ±
± exp (i p2X\lh) exp (ipiX2/h)}/ ^2. (9.10)
48
Здесь знак выбирается в зависимости от статистики, отсюда получим
Pa,S(*l, Х2\ хи Х2) — 1 + COS [ (Р\ — р2) (Х\—Х2) jh] . (9.11)
При %-*-0 возникают осцилляции, частота которых неограниченно нарастает; точка й = 0 — существенно особая.
Рассмотренный здесь пример реализуется в природе при рассеянии одинаковых частиц, например протона на протоне (случай статистики Ферми —Дирака), или при рассеянии а-частиц на Не (случай статистики Бозе—Эйнштейна ). При определенном классическом рассмотрении, когда точность измерений недостаточна, чтобы различать области фазового пространства 91(q, р) размером | (pi—р2)(х\—х2) | ~Я, осциллирующий член в (9.11) становится ненаблюдаемым, но не исчезает сам по себе [11].
ЛЕКЦИЯ Ю.
ЭНТРОПИЯ и ИНФОРМАЦИЯ
В статистической термодинамике энтропия S системы определяется известной формулой Больцмана:
S=-kypx\nPK- = 1, (10.1)
я 'я'
где k — постоянная Больцмана; Р% ¦— вероятность возможных состояний К системы. Согласно (7.4) вероятность Рк — собственное значение статистического оператора р. Поэтому формулу (10.1) можно записать в виде, инвариантном относительно выбора
представления статистического оператора р, а именно
в виде*
S =—k Sp (р In р); Spp = l. (Ю-2)
Собственное и единственное значение оператора р для когерентного ансамбля есть Рк= 1. Поэтому энтропия для когерентного ансамбля
S-0. (10.3)
* Эти формулы впервые даны фон Нейманом [8].
3 Зак. 168
49
Для некогерентного ансамбля, как следуем щ (10.1),
S>0. (10.4)
С другой стороны, когерентный и некогереипп.ш ансамбли отличаются с кибернетической точки фения различным содержанием информации.
Когерентный ансамбль содержит максимум информации о микросистеме ц, совместимы» с принципом дополнительности. Такой ансамбль, неемшря на наличие в нем статистической дисперсии, япляегся максимально упорядоченным ансамблем, но-лому его энтропия равна нулю и не может быть уменьшена. Некогерентный ансамбль отбором результате)» п ше-рений можно разбить на чистые, когерентные ансамбли рк, в каждом из которых энтропия S^=0.
Мерой информации / в теории информации принимается величина, пропорциональная разности \tiir-ропий [13]:
I~S(до измерения)—S(после измерения). (10.5)
При этом энтропию S обычно измеряют в единицах информации — в битах. Если перейти к этим единицам, то (10.5) перепишется в виде
/ = Я( до измерения)—Я (после измерения). (10.6) Величина
tf=-?/\loge/\-.= S/(*ln2) (10.7)
х
принимается за меру неопределенности информации. Если имеются только две возможности, то р*=1/2 и, следовательно, Я=1 бит.
Измерения в некогерентном ансамбле, определяемом статистическим оператором рм, даны на рис. 3,а. Энтропия этого ансамбля Sм>0. После измерений величины L, имеющей собственные значения Х2, ..., Хп, ¦ ¦ ¦, все экземпляры микросистемы ц, имеющие L = X\, помещают в первый ящик, экземпляры, имеющие L = X2, — во второй ящик и т. д. После этой операции внутри ящика номера s имеется когерентный ансамбль частиц с L — X<. Энтропия этого ансамбля Ss = 0. Сумма энтропий всех -лих ансамблей S = 0.
50
В рассматриваемом случае S'(до измерений)= ~-Su>0, S (после измерений) =SSs = 0. Информация / оказывается положительной: I = S/(k In 2) >0.
Измерения в когерентном ансамбле даны па рис. 3,6. Предполагается, что ансамбль задан значением некоторой динамической переменной L = A, опи-
Рис. 3. Измерение в некогерентном (а) и когерентном (б) ансамблях: а — исходная энтропия 5,и>0; после измерения Ееличины L в каждом ящике с определенным величина 5^=0; объем информации возрос; б — исходная энтропия 5ц = 0; после измерения величины М в каждом ящике энтропия S^O; объем информации не изменился
сываемой оператором S. Ансамбль Sx когерентен: в этом ансамбле AL2 = 0. Мы будем интересоваться некоторой другой динамической переменной М, описываемой оператором Ж, причем предполагается, что
