Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
где п — номер собственного значения к. При выводе (6.5) и (6.6) было использовано то обстоятельство, что есть собственная функция оператора 2,
т. е. уравнение (5.13).
Преобразуем этим же унитарным преобразованием статоператор р, заданный первоначально в пространстве &{q) формулой (5.21). Элементы оператора р' в /.-представлении согласно определению унитарного преобразования (6.1) и (6.2) будут равны
р' (к, к') = (q) Ц» (q) ф* (<?') (q') dqdq’. (6.7)
Подставляя в (6.7) г|;(^) в виде суперпозиции (5.20), получаем
для непрерывного спектра к
р'(к, к')=с{к)с*(к'), (6.8)
для дискретного спектра к
р'(п, т)=с(п)с* (т). (6.9)
Эти формулы дают элементы статоператор а р в L-представлении.
Воспользуемся этими формулами, чтобы вычислить среднее величины L в состоянии, описываемом статоператором р в L-представлении. Как было показано ранее, унитарное преобразование не меняет следа матриц:
Sp (р2?) =Sp (pi?').
Это означает, что в формуле для среднего значения величины L, измеряемой в ансамбле, можно написать произведение рС в форме произведения р'С', взятых теперь в //-представлении. В раскрытом виде след этого произведения равен
L=Sp (р2) =/р (к, к") S (к", к) dk"dk. (6.10)
2 Зак. 168 33
Замечая, что в L-представлении матрица 3 дпатональна & (%, %")='kb(rk—’k"), получаем из (6.10)
L=$Mp(X, X) С'. 11)
при условии Sp р=1, т. е. при
Jdf(l, Х) = 1. (П. 12)
Для непрерывного спектра dp (X, Х) = \с(Х) \ 2dX, а для дискретного спектра ф(А.Д)-=? lc(^)l2^(^—k„)dX.
П
Поэтому имеем для этих случаев
1= ]Ч|с(Ь)|гс&, (6.13)
или
1 = ^К\с(п)\К [(6.14)
П
Сравним эти выражения с общим определением среднего, принятым в теории вероятностей.
Среднее значение случайной величины L, принимающей значения A,i, %2, ..., Кп, ¦ ¦ ¦ с вероятностями
Ри Р2, ¦¦¦, Рп, ¦¦¦ (2Р„= 1), равно
I=?w (6.15)
п
Сравнивая (6.13) с (6.15), видим, что величину
|с(п)|2 необходимо трактовать как вероятность наблюдения в ансамбле р значения динамической переменной L=Ln, т. е.
Рп=\с(п)\2. (6.16)
Нетрудно видеть, что для непрерывного спектра ве-
роятность того, что X<L^.X+Ak, будет равна
P(K)dX=\c{X)\*db. (6.17)
Рассмотрим теперь две динамические величины L и М, изображаемые операторами 9? и Ж соответственно. Нас будет интересовать случай, когда
[&, Л\=сФ0. (6.18)
34
Пусть ансамбль будет когерентным и определяется статоператором
Р(Я, Я')=ЪШ*(Я')- (6.19).
Если волновая функция ^(г?) не является собственной функцией ни того, ни другого оператора, то ясно, что в таком ансамбле ни величина L, ни величина М не имеют определенного значения. Поэтому AL2>0 и ДЛ42>0. Установим соотношения между этими квадратичными отклонениями. В дополнении 6 показано, что если А и В — два эрмитовых оператора, а с — их коммутатор, с=[А, В], то
|с2|2, (6.20)
4
где А2, В2 — средние значения квадратов операторов А и В (при условии, что эти средние значения конечны). Полагая в (6.20) Д=2?—L и В=Л—М, где L и М — средние значения величин S' и Ж соответственно, получаем важное соотношение:
АРМ2>-\[2,оМ]\*. (6.21)
4
В частности, если 9?=ps и M=c\s, пользуясь условием квантования (4.5), находим соотношение Гейзенберга в самой общей форме:
Д^ДJ>-^Ssr. (6.22)
4
Существование соотношений вида (6.21) и фундаментального соотношения (6.22), как уже отмечалось ранее, показывает, что никаким выбором подан-самблей рх когерентного ансамбля р невозможно получить ансамбль, в котором все средние квадратичные отклонения были бы равны нулю.
Как видно из (6.21), если коммутатор (6.18) равен нулю, то возможно одновременное равенство ALZ=AM2=0, т. е. обе величины, L и М, могут иметь определенные значения % и ц. Из равенства нулю
2* 35
коммутатора (6.18)' следует, что уравнения для собственных функций оператора & и Ж\
&ф=Яф, (6.23)
*#ф=цл|) (6.24)
могут быть удовлетворены одной общей волновой функцией т|з. Чтобы убедиться в этом, следует подействовать на уравнение (6.23) оператором Ж, а на уравнение (6.24) — оператором S и взять разность результатов.
ЛЕКЦИЯ 7.
НЕКОГЕРЕНТНЫЙ АНСАМБЛЬ
Рассмотрим такую ситуацию, когда не определено, какому когерентному ансамблю р* из возможных в заданной макроскопической обстановке Ж принадлежит частица ц. Однако будем предполагать, что нам известны вероятности того, что частица [х может оказаться принадлежащей соответствующему когерентному ансамблю р*.
Вероятности Рк являются постоянными числами (Pjl>0, SPx= 1), характеризующими заданную информацию о квантовом ансамбле. Набор статоператоров pj. и вероятностей Р* (Я=1, 2, N) можно заменить одним статоператором р, характеризующим самый общий квантовый ансамбль:
N
Р = ? (7-1)
Ь=1
= ^(<7)^ (<?')• (7-2)
Такой ансамбль называют некогерентным, или смешанным *. Основанием для такого названия является то обстоятельство, что волновые функции i|>jl(<7), определяющие когерентные подансамбли, складываются в (7.1) своими интенсивностями loM#)!2 (при q=
* Термин смешанный принадлежит фон Нейману, термин некогерентный — К- В. Никольскому.
36
= q') и поэтому не интерферируют между собой. Напомним, что в когерентном ансамбле складываются амплитуды волновых функций с учетом их фаз: ¦ф(9)=^ %,(<?)• Частные операторы проекции р*, х, л
