Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что в настоящее время существование спина электрона может рассматриваться как следствие из релятивистской теории электрона, развитой Дираком. Однако изложение этой теории выходит за рамки нашей книги1).
§ 59. Оператор спина электрона
Обратимся теперь к математической формулировке гипотезы Уленбека и Гаудсмита.
В соответствии с общими принципами квантовой механики собственный механический момент электрона (для краткости будем просто говорить спин электрона) должен изображаться линейным самосопряженным оператором. Обозначим операторы проекций спина на оси координат через sx, sy, sz. Чтобы определить вид
этих операторов, мы потребуем, чтобы эти операторы подчинялись
тем же правилам перестановки, что и компоненты орбитального момента Мх, Му, Мг. Тогда, заменяя в (25.5) М на s', получаем2)
SySx = ifiSg, |
SySg SgSy = iHsxy I (59.1)
SAr sxsz = ihSy. J
Проекция спина на4 любое направление (по исходной гипотезе) может принимать два значения: ±Н/2. Поэтому операторы sx,
г) П. А. М. Дирак показал, что из релятивистского уравнения для движения электрона автоматически вытекает, что электрон должен обладать магнитным моментом (58.2) и механическим моментом (58.1), и, таким образом, дал теоретическое обоснование гипотезе Уленбека и Гаудсмита (см. П. А. М. Д«-р а к, Принципы квантовой механики, Физматгиз, I960).
2) Опираясь на теорию групп, можно доказать, что правила (59.1) являются еди нственно возможными.
250
СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
sy, sz должны изображаться двухрядными матрицами, так как двухрядная матрица, будучи приведена к диагональному виду, содержит лишь два диагональных члена и, стало быть, имеет только два собственных значения. Полагая
П ~ * Ь ~ А Й “ (59.2)
мы можем сказать, что операторы ох, ау, gz (спиновые матрицы) должны быть двухрядными матрицами вида
___.аи ап
х \а21
„ \ь« bi 2 сп С12
* °у -1 Ьп Ьчг . Ог = С21 с22
(59.3)
охОу - оуох = 2 iaz,
ОуОг огоу — 2iax,
OzGx охог — 2iou.
0 1 0 1 0
1 0 1 , ol = 0 1
имеющими собственные значения ±1. Подставляя (59.2) в (59.1) и сокращая на Й2/4, получаем
(59.4) (59.4') (59.4")
Ввиду того, что собственные значения ох, ау, аг равны ± 1, то собственные значения операторов а'х, а2у, а\ суть +1. Стало быть, в своем собственном представлении эти последние матрицы должны иметь вид
МП in in
(59.5)
0 1|- (59.6)
Единичная матрица остается единичной во всяком представлении (см. § 40). Поэтому матрицы ах, о-у, <т| имеют вид (59.5) во всяком возможном представлении. Рассмотрим теперь комбинацию
2» (охау + оуох) = 2ioxoy + ay2iax.
На основании (59.4) это можно переписать в виде
(ОуОг ^гОу) О у -}- О у (ОуО, ОгОу) — ОуОгОу ОгОу ОуОг ОуОгОу =
= ОуОг ОгОу’,
т. е. они являются единичными матрицами б:
6= 1 01
но ajj = 6 есть единичная матрица, поэтому Следовательно,
охау = — аиах, (59.7)
т. е. матрицы ах, ау, как говорят, антикоммутируют.
ОПЕРАТОР СПИНА ЭЛЕКТРОНА
251
Комбинируя (59.7) с (59.4)- и применяя циклическую перестановку ах, оу, аг, находим
(59.8)
Найдем теперь явный вид матриц ах, ау, ог. Пусть, скажем, матрица аг приведена к диагональному виду. Так как ее собственные значения равны ±1, то диагональный вид oz будет
1 О
^=0 _1 • (59.9)
Можно показать, что в этом же представлении остальные две матрицы ах, ау будут иметь вид
(59.9')
Для доказательства образуем произведения агох и охаг. По правилу матричного умножения (§ 40) имеем
OrOv
<УхО, =
0 1 0 1
* II 1 0 II tT i 0
1 °| «п «12 «и «12
0 —1 1 «21 «22 «21 «22
«12 11 0 «11 ¦ -«12
«22 |0 -1 «21 ¦ — «22
На основании (59.8) имеем
«П «12 «11 — «1Ь «11 «12
«21 «23 «21 «22 «21 «22
или
т. е.
йц—--------------йц, Cti2 — #12, -----а21 —--------------#21>
¦ а2 2 —#22,
ап = 0, #22 = о.
Поэтому матрица ах имеет вид
«12
0
«21 0
(59.10)
Образуем теперь о?х: сг; =
0 «12 0 «12
«21 0 «21 0 —
«12«21 ^
0 «12«21
Сравнивая е (59.5), получаем, что а12а21=1. Матрица должна быть самосопряженной, т. е. #i2 = #.*i. Стало быть, |я12|2=1. Отсюда получаем
_ о eia ^х e~ia 0
где а —действительное число,
(59.11)
252
собственный механический и МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
Подобным же образом находим, что
_ I 0
°у — | е-<р о
Перемножая теперь ах на ау, а потом на ах и пользуясь (59.8), получим
(59.1 Г)
ei <а-(3) О
откуда
о
(а-р) pi (а -(5) .
еЧ (а-р> О
О ема-р>
o-i( а-Р)
т. е. а — |5 = гс/2. Таким образом, все соотношения удовлетворены при произвольном значении а. Поэтому без всяких ограничений мы можем взять а = 0, Р = — я/2. Подставляя эти значения в (59.11) и (59.1 Г), получаем (59.9').
Согласно (59.2) из (59.9) и (59.9') получаем матрицы опера-
торов s.v
</*
^-представление):
s2 в представлении, в котором sz диагональна
Тг _ Тг я
0 ТГ 0 — i " тг 0
2 л О А 2
п > sy “ н » s2 — Тг
о i 0 0 — -тг
2 2 2
(59.12)
Заметим, что значки 1 и 2, нумерующие матричные элементы матриц сг и s, приобретают теперь (поскольку выбрано представление) определенное значение: значок 1 относится к первому
собственному значению — а 2 —ко второму ss——
