Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
?v4,-?<ari,g + ^«aryi. = E4>. (57.3)
В этом уравнении мы можем сразу разделить переменные, если положим
г|з(х, у, z) = et,'ax+fr)<p (у), (57.4)
где а и — некоторые постоянные.
Подставляя (57.4) в (57.3), находим уравнение для функции ф (у):
№ d4р , еПа ф , 2 !и й2«2 ft2P2\ /с7 сч
- 2м W + 1ъг'®гю + -ф-У^ = [Е--2г “ ф- (57-5)
Это последнее уравнение легко приводится к уравнению для осциллятора. Для этого положим
/ hCLC / г" 'у о\
~~bW’ (57-6)
«0 = ^, (57.6')
г = Е-ф. (57.6")
Тогда после простых преобразований получаем вместо предыдущего уравнения новое уравнение
-|г|^ + ТГ »> = '<!>¦ <57J>
Это и есть уравнение для осциллятора массы (л, частоты со0 (см. (47.3)).
Отсюда на основании известных решений для осциллятора мы можем сразу написать нужные нам решения:
Ч>п(У') = е~^Нп (|), (57'8)
I==Y^[y+W)’ (57-9)
е = {п + , /г = 0, 1, 2,... (57.10)
244
МИКРОЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
[ГЛ. IX
Стало быть, собственные функции частицы в поле будут
|2
4Wp (X, у, г) = е‘ Г тНп (|), <57-1 ^
а квантовые уровни определятся формулой
+ (57.12)
где я = 0, 1, 2, ....
Последний член есть не что иное, как кинетическая энергия движения по оси OZ (вдоль поля), первая же часть
Еп( °)=-^(«+т) <57Л2')
представляет собой энергию движения в плоскости х, у, перпендикулярной к магнитному полю. Эту энергию можно записать в виде потенциальной энергии тока, обладающего магнитным моментом 3J?, в магнитном поле 3€ (0, 0, еЗГ). Именно, положим
Еп (0) = — {ШЩ = — = тв (2п + 1) Ж. (57.13)
Из этой формулы мы видим, что проекция магнитного момента 3)1* на направление магнитного поля есть целое кратное от магнетона Бора 9ЛВ.
Полученное квантование энергии свободной частицы, движущейся в магнитном поле, является важным следствием квантовой механики, так как приводит к наличию диамагнетизма у электронного газа, в то время как по классической теории диамагнитные свойства у электронного газа должны отсутствовать.
Собственные функции (57.11) вполне соответствуют классическому закону движения в магнитном поле. Именно, по классической теории мы имеем круговое движение в плоскости х, у с частотой (о0 (как раз эта часть энергии квантуется) и свободное движение по оси OZ1).
Действительно, волновая функция (57.11) означает, что обобщенный импульс по оси ОХ равен pi —На и по оси OZ равен p°z = fiр. По оси OY мы имеем гармоническое движение с часто-
сР'х ^
той (о0 около положения равновесия у0 — —^- Согласно класси-
ческой механике импульс по оси ОХ также постоянен, и это не противоречит тому, что по оси ОХ также происходит гармоническое колебание около некоторого положения равновесия х0у так
как рх = [шv + у Ах, а не [iyv!
Обобщенный импульс р°х определяет положение равновесия y0i и поэтому от него не зависит энергия движения ?лф).
х) См. дополнение X, где приведен соответствующий расчет по классиче ской механике.
§ 571 ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 245
То обстоятельство, что по квантовомеханическому решению как будто получается гармоническое движение только по оси OY, в то время как классическое круговое движение означает гармоническое колебание и по оси OY, и по оси ОХ (с разностью фаз я/2), связано с тем, что волновая функция (х, у, г)
(57.11) описывает состояние с неопределенным положением равновесия х0 для колебаний по оси ОХ.
Так как энергия /^(Р) не зависит от а, то мы имеем бесконечно высокое вырождение, соответствующее различным возможным положениям точки равновесия х0. Поэтому энергии Еп (Р) принадлежит не только найденное нами решение но и все волновые функции вида
+о° __
¦фяр (*. У, г) = \ с (а) е‘ («*+Ме 2 нп ^а,
—ОО
где с (а) — произвольная функция а.
В частности, можно подобрать с (а) так, чтобы решение 'флр соответствовало определенному положению точки равновесия по оси ОХ (х0).
Глава X
СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ ЭЛЕКТРОНА (СПИН)
§ 58. Экспериментальные доказательства существования спина электрона
Изложенная в предыдущем теория движения заряженной частицы в магнитном поле является далеко не полной. Дело в том, что помимо механического и магнитного моментов, создаваемых движением центра тяжести электрона, электрону необходимо приписать собственный механический и магнитный моменты, как если бы он являлся не материальной точкой, а вращающимся заряженным волчком. Этот механический и магнитный моменты называют спиновыми (в отличие от механического и магнитного моментов, создаваемых движением центра тяжести электрона, которые мы будем теперь называть орбитальными). Само явление называют спином электрона.
Мы изложим кратко те опытные факты, из которых следует существование спина электрона. Одно из наиболее простых и прямых указаний на существование спина электрона получается из опытов Штерна и Герлаха по пространственному квантованию (§ 3). Штерн и Герлах наблюдали расщепление надвое пучка атомов водорода, заведомо находящихся в s-состоянии. В этом состоянии механический, а вместе с ним и магнитный орбитальный моменты равны нулю. Между тем факт отклонения пучка атомов в магнитном поле показывает, что эти атомы обладают в s-состоянии магнитным моментом. Расщепление только на два пучка показывает, что проекция этого магнитного момента может принимать только два значения. Результаты измерений показывают, что абсолютная величина этого момента равна магнетону Бора ЗЛд. Таким образом, в s-состоянии атома, имеющего лишь один электрон, существует магнитный/ момент SШ, проекция которого на магнитное поле принимает лишь два значения
