Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Построенная на основе этой качественной картины количественная теория омического сопротивления металлов приводит к хорошему согласию с опытом.
Отметим еще одно интересное обстоятельство. Несмотря на то, что опыты Толмэна твердо установили, что проводимость металлов обусловлена движением электронов, оказалось, что в некоторых
г) Мы должны были бы обобщить эти теоремы на три измерения. Однако это обобщение тривиально сводится просто к увеличению числа переменных (лг, у, г вместо х, kxt ky, kz вместо k), и все теоремы сохраняют свою силу.
2) Это уменьшение сопротивления металлов не следует смешивать с явлением «сверхпроводимости», которое заключается в резком, скачкообразном исчезновении сопротивления некоторых металлов при понижении температуры.
236
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. VIII
металлах знак эффекта Холла таков, как если бы проводимость была обусловлена положительно заряженными частицами. Эта аномалия полностью объясняется с точки зрения квантовой механики. Можно показать, что если проводимость металла обусловлена электронами, находящимися на краю зоны, то дело будет обстоять так, как если бы это были не электроны, а положительно заряженные частицы.
Представим себе, что на электрон, находящийся на краю зоны, действует электрическое поле 'Ш. Сила, действующая на электрон, равна еШ. Эта сила вызовет изменение среднего импульса, которое по теореме Эренфеста равно
Согласно (55.21) получаем
dp _ d f ц dE \ _ ц сРЕ dk dt ~ dt \T~dk ) ~ Т~W ~dt '
С другой стороны, работа, произведенная полем за 1 сек, равна
Обычное положение дел таково, что р.* положительно. (Это видно уже из того, что с уменьшением величины периодического поля U->¦ 0, т. е. при переходе к свободному движению, |д.*-»-ц). Но из (55.25) следует, что |д.** = — fi*<0.
Следовательно, согласно (55.26), электрон, находящийся на краю зоны, движется так, как если бы он имел заряд е
т. е. заряд, по знаку противоположный заряду е ^так как ^ <0J.
Имея в виду, что, согласно (55.23'),
d'-E d2E Ш
dk2 dl3
мы получаем
(55.26)
Глава IX
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ МИКРОЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 56. Произвольное электромагнитное поле
Рассмотрим теперь движение частиц с зарядом е и массой ia в произвольном электромагнитном поле. Пусть напряженность электрического поля есть Ш, а напряженность магнитного поля д€. Эти напряженности мы выразим через скалярный потенциал V и векторный потенциал А:.
g==~4ir-w> <56Л)
Л = rot А. (56.2)
Гамильтониан для этого случая приведен в § 27 и равен (27.9)
fl-ip‘-w(Xp)+-^ii',x+^A’+eV+u' (56'3>
где U —-силовая функция и присоединена на тот случай, если помимо электромагнитных сил имеются еще и другие силы.
Мы не будем сейчас искать стационарные состояния, так как в произвольном электромагнитном поле они не всегда существуют. Ограничимся установлением уравнений движения и из них выведем некоторые общие заключения.
Для установления уравнений движения мы можем опираться на общую теорию, изложенную в § 32. Согласно (32.2) и (32.2') дело сводится к вычислению квантовых скобок Пуассона для координат х> у, z и импульсов Рх, Руу Pzt причем под оператором Н следует понимать гамильтониан (56.3)*).
!) Дальнейший расчет аналогичен классическому, рассмотренному в дополнении VI.
238
МИКРОЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
(ГЛ. IX
d% (df dt
Вычислим сначала оператор скорости-^г-1-—напишутся тогда по аналогии]. Имеем
dX
dt
(56.4)
A
Первую скобку мы уже вычисляли (32.5); она равна Р*/ц. Для второй имеем
[АР, х] = [АХРХ, х] = ~ (хАхРх - АхРхх) =
= -L [хАхРх - Ах (хРх - Ш)] = Ах. (56.5)
Следовательно,
dk dt
4=1"' »)-Up>-ta
ТГ='[Й. *}-Ur.-TA‘h
(56.6)
Эти- операторные уравнения в точности совпадают со второй группой классических уравнений Гамильтона (см. дополнение VI, формула (10')), если под Р понимать величину, а не оператор.
Вторая группа уравнений получается несколько более сложным путем. Вычислим
dPx . dt »
ij^_[Й, />,]+*. [div A, P,] +
+ l|r[A‘. PJ + [^ + t/, A,].
Вычислим все эти скобки, начиная с последних:
[eV + U, Рх] = -е^-—ди
е2 г Д2 р 1 —_________!i ________?_(
2цс»1 ’ 2uc* а* ~ |яс2 \
ck д*
л
дА.
(56.7)
(56.8)
1Пе Г/iiir А й 1 1Йе ^ div А
2^ [div A, ----------
дх
е г. * а , е (дАх *
-тгг№
* d* ‘ -У дх ‘
ito /d2A, , дЫу 2\лс \ дх2 ' ду дх
дА
г дх
&Аг дг дх
дх
а дА z л
~дГР*
ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
239
Следовательно,
dPx _ dU дУ е ГдАх /д е - \
dt ~~ дх едх^\м1дх Ух~~ТЛх)~т~
дАу (л. е \ дАг / д е л \“| ifte д div А
+ тг(р»-т'4«) + sr{p‘-TA‘)\-?jz-sr- <56-9>
Чтобы получить производную не от обобщенного импульса, а от обыкновенного, равного, согласно (56.6),
(5(Ш>
нужно из (56.9) вычесть — -^-. Для этого вычислим
с at с at
Имеем
= + Ал (56-и)
Подставляя сюда Н из (56.3), находим
|[Й, A,j--^[AP, А,1 (56.12)
Далее, вычисляем эти скобки:
[Р*, Ах] = 2 (% Рх + Щ. Ру + Рг) - МФА» (56.13)
[АР, АХ] = АХ^ + Ау^ + Аг^. (56.14)
Отсюда получаем
е dAx _ е дАх . е Г дАх (? е л \ , дАх (д е „ \ ,
Т~1Г~ с ~дГ~Т L"ST\ с лУ'+'-?’\ с */'+'
+ t(P--5-4')]-WVM- <5615)
