Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
232 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
б-функций следующим образом:
+ 00
cjk(k') = cj(k') 2 b(k + ^-k'). (55.12)
п = — ОО
Это и есть решение, принадлежащее собственному значению Es (k) и взятое в «/^-представлении (так как k' — p'/ft). Отсюда получим ¦ф в «^-представлении:
— ОО
*-j— оо —j— со
5 2
Производя здесь интегрирование по k', получим
. .(и , 2Ш \
*„<*> = f с,{к+^у -! . (55.13)
л = — оо
Вынося здесь е‘кх за знак суммирования, получим
%k{x)=e**uik{x), (55.14)
где uik (х) есть некоторая периодическая функция х с периодом а:
«у* (х + а) = uJk (х). (55.15)
ч|эуЛ (х) в уравнении (55.14) есть собственная функция оператора энергии в «х»-представлении, относящаяся к собственному значению Ej (k), т. е. к /-й зоне и волновому числу, равному k. Она представляет собой плоскую волну (etkx), модулированную в такт периодичности потенциальной энергии. На рис. 42 изображена действительная часть такой функции (пунктирная кривая). Точками на оси ОХ отмечены положения ядер атомов (полюсы функции U (х)). Около этих точек функция %*(*) близка к тем, которые свойственны изолированным атомам.
Из решения (55.13) непосредственно следует, что состояния с определенным значением энергии ((Д?)г = 0) суть (как и всегда при наличии поля) состояния с неопределенным значением импульса р. Именно, в состоянии с энергией Ej(k) возможны значения импульса р, равные
p = h(k + ^\ п = 0, =t 1, ±2,.... (55.16)
с вероятностью
1
2я п \
§ 55] ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 233
для pn — h (^ + Среднее значение импульса р в состоя-
нии tyjb, вообще говоря, не равно нулю.
Докажем теперь теорему о движении группы волн в периодическом поле, подобную теореме о движении группы волн в отсутствие поля. (§ 7). Зависимость от времени функций "фу* (л*), как представляющих стационарные состояния, будет гармоническая Е, (к)
с частотой (0 =
п
— I
tyfk (*> t) = %k (x)e n . (55.18)
Образуем из этих состояний группу, ограничиваясь функциями, принадлежащими одной определенной зоне (/). Соответственно этому предположению индекс / опустим совсем.
По определению группы имеем
Ч> (х, () = \ c(k) ei(kx'^uk (x)dk, (55.19)
feo i,"m"
где A^ —малый интервал. Полагая
Л- = *0 + б, CD(/fe) = (o(^o) + (-§-)o6+ ...
и считая с (Щ и ик (*) медленно меняющимися функциями k
(в области k0 ± Д&), мы получим вместо (55.19)
Afe . Г _ ( da \ I .
ijj (*, l) = c (к0) (х) е* ^ ei W* Л J db. (55.19')
д*
Вынесенные за знак интеграла множители являются быстропеременными функциями х и t. Интеграл по б, напротив, медленно меняется, если* № мало. Поэтому этот интеграл можно рассматривать так же, как мы делали в § 7, как амплитуду группы 1|)(лг, t).
Повторяя в точности все рассуждения § 7, мы найдем, что максимум амплитуды («центр» группы) перемещается с групповой скоростью, равной
Иж).= т(4Я,- (55'20>
Отсюда следует, что средний импульс такой группы равен
<65-21>
Пользуясь выражением для Е (55.11), мы можем написать выражение для среднего импульса в группе состояний в /'-й зоне
234 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
около k0 = k в следующем виде:
ОО
2 Ejmtnsin(mak). (55.22)
m — 1
Отсюда видно, что на границах зоны (k — ±~J средний импульс
р = 0. Легко непосредственно убедиться из вида функций (х)
(55.13), что в этих случаях мы имеем стоячие модулированные волны. Для значений к Ф пп/а средний импульс вообще не равен нулю. Следовательно, состояния с определенной энергией в периодическом поле суть состояния со средним импульсом,
вообще говоря, не равным нулю.
Если ограничиться в ряде (55.11) двумя первыми членами (т = 0 и т = 1), то получим
Е (kj) = Ej0 + Еп cos (ka). <55.11')
В центре зоны (около k = 0, см. рис. 43) можно разложить (55.11') по степеням k, тогда найдем
Е, (к) = ?,0 + Еп[ 1 —. (55.11")
Для свооодного движения энергия равна
*2А2
?* = const + ~ (55.11"')
(см. § 7). Поэтому (55.11") можно переписать в виде
Е/(к) — const -j- -gjjj-, (55.23)
где ц* есть так называемая эффективная масса
* ?/ia2 I ((k) ^
ц* - № — й* \ d& )k-o• ( ¦ *
Соответственно импульс равен
Р = (55.25)
т. е. отличается от импульса свободной частицы коэффициентом ц/ц*. Подобным же образом можно представить энергию и на краях зоны (k — ± п/а). Возьмем, например, окрестность точки k = 4 л/а. Положим k — n/a — \. Тогда
cos (ak) — cos (л; — |а) = — cos (|а).
В этой области
E/(k) = Ei0-En(l-?f+
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
235
т. е.
Ej{k) = const + ||г, ? = ?-*, (55.23')
где (х** есть эффективная масса на краю зоны. Из (55.24) следует, что
,, **___*
г — г у
т. е. эффективные массы в середине и на краю зоны имеют противоположные знаки.
Доказанные в этом отделе теоремы имеют исключительное значение в современной теории металлов1). Не имея возможности входить в детали этой обширной в настоящее время теории, мы ограничимся самыми краткими замечаниями. Теорема о движении группы в периодическом поле показывает, что в периодическом поле электрон движется с неизменным средним импульсом, вообще говоря, не равным нулю (это впервые было показано Ф. Блохом в 1927 г.). Поэтому омическое сопротивление металла может быть вызвано только тем, что реальный металл не является средой с идеально периодическим полем. Отступления от строгой периодичности поля вызывают рассеяние электронных волн [tyjk (х)] и приводят к изменению среднего импульса электрона pjki чем и вызывается омическое сопротивление. Эти отступления от периодичности обусловлены двумя причинами: 1) тепловыми колебаниями атомов металла, 2) наличием посторонних вкраплений в кристалле и случайными микродеформациями. По мере уменьшения температуры металла уменьшается амплитуда колебания атомов, а вместе с тем уменьшается рассеяние электронных волн, и следовательно> падает сопротивление. В хорошо приготовленном кристалле вторая причина может играть малую роль, поэтому сопротивление металла будет стремиться к нулю (или очень малой величине) по мере понижения температуры2). По классической теории, оно должно было бы возрастать («замерзание электронного газа»).
