Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 42 изображена потенциальная энергия электрона в кристалле в функции х при условии, что ось ОХ проходит через центры атомов, образующих кристалл. В точках ... —2а,
— а, 0, + а, +2 а, ... расположены центры атомов. В этих точках U
имеет полюс первого порядка (----------).
Для выяснения возможных уровней энергии электрона в периодическом поле и собственных функций энергии нужно решить уравнение Шредингера, которое мы возьмем сначала в «^-представлении. Это уравнение имеет вид
+ = (55.2)
где (д. —масса электрона, a U — потенциальная энергия, подчиняющаяся условию периодичности (55.1). Ставя себе целью лишь выяснение самых основных свойств движения в периодическом поле, мы ограничимся одним измерением. Тогда вместо (55.1) и (55.2) будем иметь
U(x + a) = U(x), (55. Г”)
Pjpc. 42 Кривая потенциальной энергии электрона в кристалле.
Пунктиром изображена волновая функция (модулированная волна).
(55.2')
§ 551 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 229
Для исследования этого уравнения перейдем к «/^-представлению. Положим для этой цели
+ ОО
t|,(х)= \ c(k)-^dk, k = kx—%-, (55.3)
— 00
где рх — импульс по оси ОХ. Соответственно разложим потенциальную энергию U в ряд Фурье
+ оо 2 ninx
U(x)= 2 Une а , U„ = Utn. (55.4)
— оо
Коэффициенты этого ряда Un суть не что иное, как U (х) в «р»-представлении. Подставим (55.3) и (55.4) в (55.2'):
+ оо t -f-оо +оо i(k х
S S 5а+2и- S i л.
— 00 — 00 — oo
+ 00 ^ =EScik>fidk- <65-5)
— oo
e~ik*x
Умножая это уравнение на -у-— и интегрируя по х от — оо до
У 2л
+ оо, мы получим б-функции:
+ 00 + 00 + 00
I
2ц
п2 ^ kic{k)b(k-k')dk^r '2iUrl J c(k)6(k-^-k,yJdk =
— 00 — 00 — оо
+ 00
= Е $ c(k)8(k-k')dk. (55.5')
— 00
Выполняя, наконец,, интегрирование по k и меняя обозначение к' на к, получаем
+ ОО
| кЧ (к) + 2 ипС (* + ^г) = Ес (к). (55.6)
— ОО
Это уравнение есть не что иное, как уравнение (55.2') в «р»-представлении. Особенностью его является то, что в него входят лишь те с (к), аргументы которых отличаются друг от друга величиной 2пп/а (п = 0, ±1, ±2, ...).
Величины c(k), с (k + 2nn/a) суть неизвестные, которые нам нужно вычислить. Все они связаны между собой уравнениями вида (55.6), которые легко получить, если менять в (55.6) k на k-\-2nm/ay где т — целое число. Перенося в (55.6) член с ? налево, мы без труда можем написать уравнения для всех связанных
230 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
между собою функций с (k-j-2nm/a):
+ 2у.с(*+?+т)-°.
+ ОО
— оо
— оо
т==0> \^»-е]ф)+1 u"c{k+ir) = °’
+ 1Х>
(55.7)
— ОО
— оо
-f- оо
— оо
и Т. д.
Это —система алгебраических линейных однородных уравнений
±2, ...). Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, необходимо, чтобы ее определитель Л равнялся нулю. Этот определитель зависит от Е и k (и всех коэффициентов U„) и является вообще трансцендентной . функцией от Е. Поэтому уравнение
имеет бесконечное число корней E = Ei, Е2, ..., ?/, ..., каждый из которых является функцией волнового числа k. Отсюда следует, что энергетический спектр частицы, движущейся в периодическом поле, будет состоять из отдельных областей
в каждой из которых энергия есть функция волнового числа k.* Эти области называются зонами дозволенной энергии или просто зонами.
Покажем, что в пределах каждой зоны энергия есть периодическая функция волнового числа k с периодом 2л/с. Для доказательства заменим в системе уравнений (55.7) всюду k на k±2n/a. Тогда, как непосредственно видно из (55.7), такая замена означает просто иной порядок написания уравнения (55.7), т. е. система уравнений переходит сама в себя. Поэтому и корни Ej останутся неизменными, так что
для бесконечного числа неизвестных
(т = 0, ± 1,
Д (Е, k) = 0
(55.8)
(55.9)
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
231
Таким образом, энергия есть в самом деле периодическая функция k и, следовательно, может быть выражена рядом Фурье
Ej {Щ = 2 Ejm cos (mak), (55.11)
т = О
где коэффициенты Е>т зависят лишь от вида потенциальной энергии U (лг), т. е. от Un1).
На рис. 43 приведены типичные кривые зависимости Ej(k) для двух первых зон и Ег. В первой зоне энергия меняется
Рис. 43. Энергетический спектр и энергия в функции волнового числа k для электрона, движущегося в периодическом поле.
от минимального значения Е[ до максимального Е\у во второй — от до Е\. Интервал Е от Е[ до Е? не реализуется и образует запрещенную зону. Таким образом, спектр состоит из отрезков непрерывного спектра (полос) от Е[ до ?[, от Е'2 до Е\ и т. д. Как правило, запрещенные области суживаются по мере увеличения номера зоны, вплоть до слияния в непрерывный спектр в пределе / = со.
Общий вид собственных функций может быть также легко получен. Каждому собственному значению E~Ej(k) принадлежит определенное решение системы (55.7). Данному значению Ej(k) принадлежит Cj(k) с вполне определенным значением k, либо отличающимся от него на целое число 2я/а. Если мы хотим записать С/ (k) в виде одной функции, то мы можем это сделать с помощью
*) Мы написали ряд по косинусу. Общий ряд Фурье содержит как косинусы, так и синусы. Однако легко видеть из (55.7), что замена k на— k не может изменить коэффициентов уравнения (55.7). При такой замене они опять переходят сами в себя. Поэтому Е должно быть четной функцией k.
