Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 79

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 229 >> Следующая

Рассмотрим . случай, когда вращение невелико, так что Wt мало отличается от U (г) — по крайней мере в области минимума U (г) (г = rt). Разложим Wt{r) по степеням отклонения от положения равновесия г — rt. Положение равновесия rt зависит от I и определится из минимума Wi(r):
Рис. 39. Связь колебания и вращения в двухатомной молекуле.
dWt dU ПЧ(1+1)
dr dr (Li r3
Отсюда находим r = rz. Далее имеем
• 0 •
причем
W, (r) = Wl(rJ + ±?^(r-,rl)* Wdri) = U(ri) + ™%±".
(54.6)
(54.7)
(54.8)
5 И! КВАНТОВЫЕ УРОВНИ ДВУХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ 223
Введем обозначения:
= и®?, И* л. * = г-г,. (54.9)
Подстановка WL (г) из (54.7) в (54.4') в обозначениях (54.9) дает
“ |l% + {U М + + т ^)«-?«• (54.5')
Обозначая через Е' величину
?' = ?-i/(rz)-^±il, (54.10)
мы перепишем уравнение (54.5') в виде
-12+1 <54 -5")
Это — уравнение для стационарных состояний осциллятора (47.3), обладающего собственной частотой со*. Согласно (47.10) его собственные значения Е’ суть
Е'п = П(о, (п + у), п = 0, 1, 2.... (54.11)
а собственные функции, согласно (47.11),
и„ (х) = е-(|), § = -. (54.12)
•*0
Находим полную внутреннюю энергию молекулы (пользуясь
(54.10))
E„i — U (ri) + (п + -Л-) Н---У~"> (54.13)
2 / т 2//
n = 0, 1, 2....../-0, 1, 2, ... (54.13')
Собственные функции молекулы будут
$nim (Г, 0, ф) = у Un (г) Yim (0, ф). (54.14)
Эти волновые функции описывают вращение молекулы и ее колебания. Энергия молекулы Ent оказывается равной сумме энергии колебаний с частотой <«>/ и энергии вращения молекулы
Ei = т % + 0 ¦ (54.15)
Имея в виду, что й2/(/4-1) есть квадрат момента импульса М)>
мы видим, что выражение для энергии вращения молекулы в кван-
товой механике таково же, как и в классической, так как, согласно
224
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
(54.9), It есть момент инерции молекулы1). Формула (54.15) показывает, что энергия вращения квантуется, причем расстояние между соседними уровнями равно
(если пренебрегать слабой зависимостью момента инерции от /, т. е. растяжением молекулы под влиянием центробежной силы).
Полученные нами решения, конечно, приближенны. Мы пренебрегли ангармоничностью колебаний молекулы, отбросив высшие члены в разложении Wt(f) по степеням r — rh Это допустимо, если отклонения г — rt малы в сравнении с расстоянием между атомами rt (или г0). Из теории осциллятора следует, что среднее
значение (чтобы в этом уоедиться, достаточно
вычислить матричный элемент хгтп, пользуясь матрицей хтп (48.8)). Поэтому
и условие справедливости нашего приближения может быть написано в виде
т. е. приближение Фем лучше, чем больше масса атомов молекулы, чем больше частота колебаний (о0 и чем больше расстояние между атомами г0. Кроме того, уровень колебаний должен быть не очень высок (п мало). При больших п и / связь между колебаниями и вращением молекулы становится сильной, и все наше приближение делается несостоятельным. Напротив, при малых п и I мы можем вообще пренебречь зависимостью rt от I и брать вместо U и со/, /о и (о0 для /==0.
Величины /о и (о0 обычно таковы, что «квант» энергии колебаний ft(o0 гораздо больше «кванта» энергии вращения й2/2/. Так, например, для молекулй водорода
Благодаря этому обстоятельству энергетический спектр молекулы состоит из системы уровней колебательных (разные значения числа п) и вращательных (разные /), последние лежат очень близко друг к другу. Схема энергетического спектра молекулы приведена на рис. 40. Пунктирная линия на границе с непре-
Д?, = ^(/+1)
(54.16)
?<• Y^Yn+^<r- <54-17>
йщ = 8,75 • 10~13 "эрг, 1,15 • 10~14 эрг.
!) Напомним, что по классической механике энергия вращения равна АР/2/.
КВАНТОВЫЕ УРОВНИ ДВУХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ
225
рывным спектром есть ? = 0 и соответствует энергии диссоциирующей молекулы. Это значение энергии может быть достигнуто при любом п для достаточно больших /.
Z-/¦
1=0'
1-1
1=Р


Г
} -
1 1

1 4 < 1 ' \ f
л-2
-п-1
-V*
(л-0)
Рис. 40. Схема вибрационных п и ротационных I уровней двухатомной молекулы.
Энергия диссоциации молекулы D, находящейся в нормальном состоянии (п = / = 0), равна, как было показано в § 49,
?> = (/о-^-°. (54.18)
Важнейшая область явлений, в которой обнаруживается квантование движения молекулы, — это спектры молекул. Пусть возможные уровни энергии электрона в молекуле суть Елг. Тогда полная энергия молекулы и ее оптического электрона равна
Е = Е„ + Йсо0 (n + \) + g / (I + 1) + const. (54.19)
Написав в таком виде энергию, мы предполагаем, что связь между движением электронов и движением атомов в молекуле слаба, так что приближенно можно представить энергию в виде суммы энергии электрона и энергии атомов. Тем не менее эта связь все же существует, и даже при слабой связи изменение состояния электрона (переход с уровня EN на другой Е’и) будет сопровождаться изменением состояния атомов. Поэтому, если молекула поглощает квант света йсо, то часть этой энергии пойдет на возбуждение электрона, а другая часть на возбуждение движения атомов молекулы. Обратно, квант частоты /гоо может быть излучен не только за счет энергии электрона, но и за счет энергии движения атомов молекулы. Поэтому, чтобы получить частоты со излучаемого и поглощаемого молекулой света, в
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed