Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
J'-----(53-3)
О, (53.4)
—-iTETlW- (53.5)
Первые два результата получаются сразу, если вспомнить, что Р\т] и Rnl суть действительные функции переменных 0 и г, а последний следует из того, что г|>„гт пропорциональна eim<t. Таким образом, в стационарных состояниях проекции тока на радиус и меридиан равны нулю (что очевидно и из геометрических соображений; если, например, Jr Ф 0, то заряды будут либо растекаться, либо накапливаться) и ток течет вдоль широтных кругов (рис. 37). Это течение вполне соответствует среднему току по классической механике для совокупности орбит, имеющих один и тот же полный момент импульса М2 и одну и ту же проекцию этого момента Mz на ось OZ.
Теперь, основываясь на формуле
(53.5) для плотности тока, нетрудно найти магнитный момент ЭЛг атома.
Сила тока dl, протекающего через площадку do, направленную в меридиональной плоскости (рис. 37), равна
dl = Jq, da. (53.6)
Рис. 37. Токи в атоме при заданных вращательном моменте М2 и его проекции Мг.
220
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
Магнитный момент, создаваемый этим током, равен
dlS J^S da т, = — = -^~, (53.7)
где S — площадь, обтекаемая током dl. Эта площадь равна
n;r2sin20 (см. рис. 37). Поэтому
j.yo Jtr2sin20 г 1 яг2 sin2 0 ebm , . |2 « /г0 о\
dv?(z =-------------J(Ddo =-------------:—г ibnim 2 da. (53.8)
* с ф с \kr sin 9 1 гтт 1 v '
Чтобы получить полный момент следует просуммировать магнитные моменты по всем трубкам тока. Тогда получим
ЭЯ
:== ~~^ 2nrsinddo\qnlm\2. (53.9)
Но 2jrrsinGda есть объем трубки. Так как внутри трубки величина \tynim? постоянна, то интеграл в (53.9) есть просто интеграл от \tynim\2 по всему объему. Этот интеграл в силу нормировки равен 1, следовательно, проекция магнитного момента на ось имеет значение
тг=-е^ = -Жвт, (53.10)
где
Шв = $с = 9’27'10'21 (53Л1>
т. е. она имеет квантовое значение, равное целому числу магнетонов Бора Шв (см. § 3). Знак минус обусловлен отрицательным зарядом электрона.
Произведенный расчет показывает, таким образом, что в состояниях с Mz ^0 в атоме течет электрический ток. Этот ток создает магнитный момент (53.10), так что атом представляет собой в целом магнитный диполь. Отношение проекции магнитного момента ЭЛ* к проекции механического момента Mz равно
wz = ~Wc (53-12)
и в точности совпадает с отношением этих величин о классической теории для заряда —е с массой |и, движущегося по замкнутой орбите. Заметим, что, поскольку ось OZ ничем не выделена, такое же отношение получится и для проекций 20? и М на любое направление. Поэтому (53.12) следует толковать в том смысле, что отношение вектора магнитного момента ЭЛ к вектору М механического момента равно —о--*
КВАНТОВЫЕ УРОВНИ ДВУХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ
221
§ 54. Квантовые уровни двухатомной молекулы
Обратимся к молекуле, образованной из двух атомов А и В с массами тА и тв. Потенциальная энергия в функции расстояния между атомами г пусть будет V (/*). Эта энергия имеет вид, приведенный на рис. 38. Мы ограничимся рассмотрением только относительного движения атомов А и 5. Из классической механики известно, что относительное движение двух частиц с энергией взаимодействия U (г) происходит, как движение материальной точки с приведенной массой (я:
1 1,1 (54.1)
-L + -L
тА тв
Рис. 38. Потенциальная энергия для атомов двухатомной молекулы и энергетический спектр.
Для Е > 0 спектр непрерывен, для Е < О имеет место система уровней Е0 < Et< .. .
в поле центральной силы U (г), а общее поступательное движение — как свободное движение материальной точки с массой тл-\-+ тв. Такое же положение вещей имеет место, как будет доказано в § 104, и в квантовой
механике. Опираясь на это обстоятельство, мы можем написать оператор полной энергии для относительного движения атомов А и В в виде
H^Tr+^+Uir), (54.2)
где г есть расстояние между атомами, а углы 0 и ф (входящие в М2) определяют направление линии, соединяющей А и В.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний будет таково же, как и (49.2). Волновую функцию можно опять искать в виде
0> 4>) = R(r) У 1т (®> ф), ^
R==u_t | (54.3)
причем для и будем иметь уравнение
_№<Ри Г 2ц dr* ‘ L
т (/+i)
2(а/-2
¦и
Ей.
(54.4)
„ НЧ(1+\)
Член —2 ¦¦ можно рассматривать как дополнительную потенциальную энергию, так что всю потенциальную энергию для
222
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
движения по радиусу можно определить в виде
и переписать уравнение (54.4) в виде
И* <Ри
2ц. drг
+ Wt (г) u=iEu.
(54.5)
(54.4')
График функции Wt(r) для разных I изображен на рис. 39. В отсутствие вращения (/ = 0) W0(r) = U (г), и мы имеем случай, рассмотренный в § 49 (рис. 29). Если вращение не сильно
(/ невелико), то Wt(r) все еще не сильно отличается от U (г). Последняя кривая лишь несколько искажается. Если, наконец, / очень велико, то кривая Wt(r) принимает вид, приведенный на рис. 39 (случай /!>1). Мы знаем, что для / = 0 молекула имеет дискретный спектр при ?<0 и непрерывный при Е>0. При сильном вращении Wt(r) всюду положительно. Тогда из доказанной в § 49 теоремы следует, что ?>0 и, следовательно, спектр будет непрерывным.- Молекула будет диссоциировать на атомы А и В. Эта диссоциация является результатом действия центробежной силы, которая развивается при вращении молекулы.
