Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
К(г)=е-ЦР, (52.4)
а потенциал V (г) равен
V{r) = -e\^dr. (52.5)
ОО
Из (52.3) следует, что действие электронной оболочки сводится
el
к экранированию поля ядра , причем это экранирование различно для различных расстояний от ядра. Вблизи ядра его поле не экранируется.
В самом деле, при г-*~ О
Г
lim eN~ = — 4яр (0) lim 4- ^ г2 dr = 0.
г —0 г г-+ 0 r
Поэтому в этой области
а потенциал
v (r) = e-y + const. (52.6)
г) Вероятность р (г) может быть вычислена методами квантовой механики. Так, для Li+ речь будет идти о движении двух электронов в поле ядра. Задача здесь такова же, как и в случае атома Не. Последняя рассмотрена в § 121. Кроме того, р(г) может быть измерена и экспериментально (см. § 79).
§ 521 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ОДНОВАЛЕНТНЫХ АТОМАХ
217
Напротив, в областях г^>а, где а —радиус электронной оболочки,
N(r)r>a=N,
где N — полное число электронов в оболочке, имеем
<е _е (Z—N)
&г— г2 ,
и потенциал будет равен
V(r) = e-^1, (52.7)
что соответствует потенциалу ядра, заряд которого уменьшен на заряд электронов оболочки.
Часто, делая еще более грубое приближение, пренебрегают зависимостью эффективного номера Z* (г) от г и берут какое-нибудь наиболее подходящее постоянное значение для
Z* = Z--iV (/о). (52.8)
Однако такое приближение очень грубо и не ведет к хорошим результатам1). Полученная нами потенциальная энергия U (г) = = — eV (г) для валентного электрона водородоподобного атома принадлежит к классу рассмотренных в § 50 (полюс порядка
1 /г). Так как N <Z, то мы имеем дело со случаем притяжения.
Отсюда следует, что энергетический спектр водородоподобного атома будет состоять из непрерывного спектра (Е> 0), отвечающего ионизованному атому, и дискретного (Е < 0), образующего совокупность квантовых уровней атома.
Мы не будем заниматься решением радиального уравнения
(49.5) для этого вида потенциальной энергии. Оно может быть решено лишь численным интегрированием. Ограничимся лишь изложением результатов.
Самым существенным обстоятельством является то, что энергия Е зависит в этом случае не только от главного квантового числа пу но и от, радиального пг. Это нетрудно понять. В уравнение (49.5) для функций /?, из которого определяются и квантовые уровни Еп, входит орбитальное квантовое число I. Поэтому Е будет, вообще говоря, зависеть от числа I. Кроме того, значение Е зависит от номера собственной функции уравнения (49.5), т. е. от радиального числа пг. Таким образом, в общем случае собственные значения Е зависят от двух квантовых чисел, пг и /, или так как п = пг-{-1-\-1, то можно сказать, что они зависят от пи/. Следовательно, полная нумерация уровней и собственных
!) Конечно, применимость или неприменимость того или иного приближения зависит еще и от того, какую степень точности желают получить.
218
МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
п— 1,
±/,
(52.9)
Е.эВ
функций будет такая:
Фш*(^. е> Ф)=Rm(r)Ylm, I — 0, 1, 2,
т — 0, it 1, .,
Е = Еп1, п— 1, 2, 3, .
а не Еп, как в случае кулоновского поля. То, что в кулоновском поле энергия зависит лишь от п, есть специальная особенность этого поля, которая имеет свои основания1). В случае кулоновского поля числа пг и I входят в выражение энергии в виде суммы n = nr-{-lr\-1-
Таким образом, в кулоновском поле, как уже и отмечалось, имеет место вырождение («/»-вырождение), заключающееся в том, что энергия при заданном главном числе п не зависит от величины момента импульса (/). В общем случае центрального поля U (г) это «/«-вырождение снято, и термы с одним и тем же главным квантовым числом и, но разными орбитальными числами / имеют разные величины. На рис. 36 приведены уровни для одновалентного атома калия. Как видно, например, главному числу п = 2 принадлежат два уровня 1 — 0 (s-терм) и 1—1 (р-терм). В случае водорода эти уровни сливаются вместе.
Что касается магнитного квантового числа т, то оно, как уже объяснялось, определяет ориентацию атома в пространстве, и поэтому энергия атома (в отсутствие внешних полей) не может зависеть от этого числа.
§ 53. Токи в атомах. Магнетон
Вычислим плотность электрического тока, текущего в атоме, если электрон находится в стационарном состоянии, с определенным значением проекции момента импульса Mz = tlm. Волновая функция такого состояния равна
4W (Г, 8, ф) = Rnl (г) p\ml (cos в) eim. (53.1)
О
WA
1 ЛепрерыЫ театр
¦¦ 2s(n*2,l-W
.. I 2р(П‘2,Н)
' \ г - — - ' П(НЛ~0)
Рис. 36. Снятие «Ь>-вырож-дения в одновалентных атомах.
Приведены три первых уровня атома калия. Уровни 2р, 2s, сливающиеся в водороде, в калии разделены.
1) См. В. А. Ф о к, ДАН, № 2, 169 (1935).
S 53] ТОКИ В АТОМАХ. МАГНЕТОН 219
Согласно (29.11) плотность электрического тока в состоянии tyrant будет выражаться формулой
ipfl
” 2|Г ^Р/ЧтУ^рпШ (53.2)
(мы берем перед е знак — , считая заряд электрона равным — ?, е = 4,778-10"10 ед. СГСЭ. Удобно найти вектор J в сферических координатах г, 0, ф. Для этого заметим, что в сферической
системе проекции оператора градиента V суть ^ g^.
Следовательно, проекции вектора J на радиус, меридиан и широту равны соответственно
