Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 63

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 229 >> Следующая

г|> (х, t) — S (t, i0) ф„ (х). (44.8)
С другой стороны, согласно общей теории (§ 22), вероятность найти L = Lm в момент времени t будет равна квадрату модуля коэффициента ст (/) разложения функции (х, /) по функциям ф^(х). Этот коэффициент равен
ст (0 = $ фт (X) г|> (X, 0 dx =
= $Ф&(*)5(^ *о) фя (X) dx = Smn (t, t0), (44.9)
т. e. амплитуда cm (t) равна матричному элементу унитарного оператора S, взятому между состояниями пит.
Отсюда следует, что вероятность найти L = Lm в момент /, если в момент t^=t0 L^Lny будет выражаться формулой
Ртп (*, to) - I (t) I2 = I Smn (/, t0) I2. (44.10)
Эта вероятность называется вероятностью квантового перехода из состояния L = Ln в состояние L = Lm.
174
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
[ГЛ. VII
В квантовой статистике широко используется так называемый принцип детального баланса. Согласно этому принципу вероятность перехода из состояния п в состояние т равна вероятности перехода из состояния т в состояние п за тот же промежуток времени. На самом деле этот принцип имеет весьма ограниченное значение. Он верен лишь в первом приближении теории возмущений. Он вереи также в некоторых специальных случаях, например, когда силы, действующие между частицами, — центральные.
Принцип детального баланса был бы верен точно в том случае, если бы матрица S была бы эрмитовой. На самом деле она есть матрица унитарная; поэтому величина | Snm |2, вообще говоря, не равна величине | Snm |2.
Отсюда не следует делать заключения о необратимости квантовой механики. Известно из классической механики, что если силы не зависят от скоростей, то изменение скоростей всех частиц на обратные ведет к тому, что все движение воспроизводится в обратном порядке.
Можно' доказать, что при этих же условиях и в квантовой механике имеет место совершенно такая же обратимость. Именно, вероятность за время t перейти из состояния, характеризуемого импульсами частиц р}, р!], ... (состояние а), в состояние с импульсами рь р2, ... (состояние (3) равна вероятности за такой же отрезок времени перейти из состояния, характеризуемого обращенными импульсами —рь —р2, ... (обращенное состояние (3), в состояние с импульсами —pj, —р!], ... (обращенное состояние а)1).
Из краткого очерка унитарных преобразований видно, что весь математический аппарат квантовой механики может быть сформулирован на языке операторов, представленных в форме матриц и на языке унитарных преобразований.
§ 45. Гайзенберговское представление и представление взаимодействия в квантовой механике
В этой книге почти повсюду принято такое описание квантовых систем, в котором операторы L, сопоставляемые классическим динамическим переменным, не зависят от времени. Всю информацию о временном развитии системы несет волновая функция гр (х, /), явно зависящая от времени и удовлетворяющая нестационарному уравнению Шредингера (28.3). Такой способ описания называется шредингеровским представле-
2) См. по этому поводу работу автора, ЖЭТФ 17, 924 (1947), где подробно рассмотрен этот вопрос.
§ 451
ГАЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
175
ни ем операторов L и волновых функций (ху /). Аналогом ему в классической механике является метод Гамильтона — Якоби, в котором основную роль играет функция действия S (х, /), подчиняющаяся уравнению Гамильтона — Якоби (см. § 35).
Помимо этого в классической механике широко используются лагранжев и гамильтонов подходы. Оказывается, что им также можно сопоставить квантовые формализмы. Построение квантовой механики в рамках лагранжева подхода рассматривается в конце книги в § 138 (так называемая фейнмановская формулировка квантовой механики). Что касается канонических уравнений Гамильтона, то, как было показано в § 32, эти уравнения имеют место и в квантовой теории (см. (32.2) и (32.2')). Однако в принятом нами шредингеровском представлении эти уравнения не описывают эволюцию операторов во времени, а определяют
новые операторы и ^ через X, Р = — ifi\ и Н.
Гайзенберг еще на первом этапе развития квантовой механики (1927—1929) применил метод канонических уравнений Гамильтона для нахождения квантовых операторов как функций времени и для определения собственных значений оператора энергии Н•
Для этого он использовал представление операторов в виде
(42.12). Уравнения Гамильтона (32.3) и (32.2') в этом представлении записываются следующим образом:
р]”» <45Л>
<45-2»
Матричные элементы операторов Р и X зависят теперь от времени согласно (42.12). Задача заключается в нахождении матриц Я, P(t) и X(t). удовлетворяющих этим уравнениям и дополнительным условиям
[х, Рх]= 1,
[^, А*] = 0 и т. д.
В матричной форме эти скобки принимают вид
Рх\тп~^тт
[У, Рх]тп = О И Т. Д.,
причем умножение операторов X и Д представленных в матричной форме (42.12), должно выполняться по правилу умножения матриц (40.11).
176
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
[ГЛ. VII
В подавляющем большинстве случаев решить дифференциальное уравнение Шредингера оказывается значительно легче, чем найти решение матричных уравнений (45.1) и (45.2).
Однако в квантовой теории поля область применения гайзен-берговского представления более широка. Поэтому мы сформулируем здесь связь представления Гайзенберга с обычным шредин-геровским. При этом будет использован аппарат унитарных преобразований по времени (см. § 44).
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed