Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Формулу (43.1) можно также рассматривать как унитарное преобразование от координатного представления к «/^-представлению. Для этого достаточно написать оператор в матричной форме. Тогда вместо (43.1) получим
Gmn = S $ (*') Gx'xtyn (х) dx dx'. (43.1')
Полагая Smx- — tym(xr) и = (x), мы приведем преобразова-
ние (43. Г) к виду (43.8). Таким образом, волновые функции 'фт(я), 'ФЛ*) СУТЬ не что иное, как матричные элементы унитарных матриц S+ и S, преобразующих от координатного представления к «^-представлению.
Выше (§ 41) уже было отмечено, что задачу о нахождении собственных значений любого оператора можно рассматривать
§ 44] УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 171
как задачу о приведении матрицы, изображающей оператор, к диагональному виду. В терминах унитарных преобразований эта задача может быть формулирована так: найти унитарное преобразование 5, которое преобразовало бы матрицу оператора G к. диагональному виду. Чтобы найти это преобразование, умножим
уравнение (43.8) слева на S. Пользуясь (43.11'), получим
SG" = G'S, (43.14)
или в раскрытом виде
2^аСар = ЕСЛ. (43.15)
а п
Ьсли матрица Gaр диагональна, то
SmaGaa — 2 GmnS„a. (43.16)
п
Так как собственные значения Gaa нам неизвестны, то нам следует опустить индекс а, и мы получим
SmG = 2C™S«. (43Л7)
П
что совпадает с уравнением (41.4), если положить G = L, Sn = cn.
Отметим одно важное свойство унитарного преобразования: унитарное преобразование оставляет неизменным сумму диагональных элементов матрицы. Эту сумму называют следом (или «шпуром») матрицы и обозначают так:
SpG=2Gnn. (43.18)
П
Из (43.7) имеем
2 Ga*=2 2 2 (s+UGm„s„a=22 °тп 2(5+us«a=
a a т n m n a
=2 2°» a»=2°»»» (43-19)
m n n
т. e. след матрицы есть инвариант унитарного преобразования. Этим свойством часто пользуются в приложениях.
§ 44. Унитарные преобразования от одного момента времени к другому. Матрица рассеяния
Изменение волновых функций с течением времени может быть также рассмотрено с помощью унитарного преобразования. Пусть 'Ф (*> t0) есть волновая функция в момент времени /0, а (х, t) — та же функция в момент времени t. Положим
^ (х, t) = S (t, to) (х, to), (44.1)
172 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
Л.
где S(t, tQ) — ecть унитарный оператор. В простейшем случае, когда гамильтониан системы Н не зависит от времени, оператор S (/, to) имеет вид
S(t, (44.2)
Действительно, вычисляя частную производную по времени от функции (44.2), найдем
щ = (х, t0) = HS (t, t0) 4» (x, to) = Hty (x, t). (44.3)
Следовательно, op (x, t) удовлетворяет временному уравнению Шредингера. Далее, из (44.1) и (44.2) следует, что соблюдено начальное условие гр (х, /) = ip(x, /0) ПРИ t = t0. Наконец, из эрми-товости оператора Гамильтона вытекает унитарность оператора
S (U UY
§+(t, /„) = <?* н+('_'о) = Д Я(/'/“) = 5-1(^, to). (44.4)
Разобьем интервал времени /, t0 на меньшие интервалы
— /q» > •••, t — tk. Тогда формулу (44.1) можно записать
в виде
Ч>(ДГ, t) = S(t, tk)S(tk, t^) ... S(t2, h)S(tly /0Ж*. to). (44.5)
Следовательно, движение квантовомеханического ансамбля можно рассматривать как последовательность унитарных преобразований.
Важный специальный случай преобразования (44.1), имеющий особенное применение в теории рассеяния частиц, возникает, если начальное состояние задано не при /0 = 0» а ПРИ = — °°> а конечное состояние ор (х, /) рассматривается при / = + °°- В этом случае (44.1) запишется в виде
гр (х9 -j- оо) = S\p (х, —со), (44.6)
где явно отмечено, что t0 = — оо и оператор 3 определен формулой
S=S(+ со, —со)- lira S(t, to). (44.7)
t ->-f- со tQ-+ — co
Этот оператор называют матрицей рассеяния. Его особое значение в теории рассеяния частиц (см. § 80) вытекает из того обстоятельства, что в теории рассеяния начальные состояния задаются обычно в виде волн, представляющих удаленные друг от друга частицы, которые потом встречаются (время от /0 = = — оо до / — 0), взаимодействуют около момента / = 0 и затем рассеиваются, уходя опять вдаль при /-^ + оо. По определе-
УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
173
нию (44.7) матрица рассеяния как раз и преобразует состояние, заданное при t = — оо, в состояние, возникающее при + оо.
Заметим, что простота выражения (44.2) является в некоторой мере иллюзорной. Это выражение может быть просто применено к вычислениям только при условии знания собственных значений Еп оператора Н и его собственных функций tpn(x), т. е. в том случае, когда найдены решения стационарного уравнения Шредингера, что далеко не всегда просто сделать.
Чаще встречаются с такой ситуацией, когда оператор Н можно разбить на две частицы: основную Но и малую, добавочную часть W, так что Н = Предполагается, что собст-
венные значения Еп и собственные функции (х) «невозмущенного» гамильтониана Н0 известны. Тогда (44.2) можно разложить в ряд по степеням малого «возмущения» W и получить приближенное выражение для оператора S. Такой путь применения 5-матрицы широко используется в современной теории рассеяния частиц.
Матричные элементы оператора S (/, /0) определяют вероятности переходов из одного квантового состояния в другое. Допустим, что в начальный момент времени t = t0 некоторая динамическая величина L имела определенное значение L = Ln. Это означает, что при t = t0 ^ (х, t0) = (pn(x), где срп (х) есть собственная функция оператора L, так что L(pn = Lucpn. В соответствии с (44.1) в этом случае волновая функция к моменту времени t будет равна
