Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 61

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 229 >> Следующая

__ . Ent
%г{ху t)=^n(x)e п .
Ясно, что это можно сделать, так как я|)/г (х, t) так же, как и 'ФлМ, образуют полную ортогональную систему функций.
Стало быть, в гайзенберговском представлении матричный элемент оператора L определится по формуле
Lmn (0 = 5 № (X, t)L% (х, t) dx = Lmneia>nnt. (42.12)
Отсюда для оператора, не зависящего явно от времени,
= <42-9'>
Эта формула отличается от (42.9) только тем, что зависимость от времени перенесена с волновых функций на операторы.
Согласно (42.12) матричные элементы операторов, явно не
зависящих от времени, в гайзенберговском представлении гармонически зависят от времени, с частотами Бора сотл.
168
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
[ГЛ. VII
В случае непрерывных матриц вместо (42.1) будем иметь
ih дс(р) = jj ^ dp' (42.V)
или, в координатном представлении:
щШ1==^иХ'Х^{х)йх, (42.1")
а вместо (42.8)
(aL = T+ \d,LU, (42.8')
it- <42-8')
Что же касается остальных формул этого параграфа, то они связаны специально с энергетическим представлением.
Введение в рассмотрение непрерывных матриц, как видно из изложенного в §§ 39—42, позволяет сделать матричный способ записи операторов совершенно единообразным, так что все возможные представления операторов и волновых функций становятся совершенно равноправными. Поэтому матричный способ записи операторов особенно удобен при рассмотрении общих вопросов теории.
При решении же конкретных задач особенно употребительно координатное представление. Объясняется это тем, что энергия взаимодействия в нерелятивистской теории зависит только от координат, кинетическая же энергия есть простая функция
импульса В силу этого в координатном представлении мы
получаем уравнение Шредингера в форме сравнительно простого дифференциального уравнения второго порядка. Однако при приближенном решении задач другие представления могут иметь преимущества перед координатным.
§ 43. Унитарные преобразования
Рассмотрим преобразование какого-нибудь оператора G от одного произвольного представления к другому. Пусть в первом представлении оператор G изображается матрицей G', элементы которой нумеруются собственными значениями L = Lb L2, ... ..., Ln, ..., Lm, ... оператора L («^-представление). Во втором представлении пусть тот же оператор G изображается матрицей G", элементы которой нумеруются собственными значениями М —-= Мь М2, Ма9 •••, AV ••• оператора М («М»-представление).
Для определенности мы предполагаем, что L и М имеют дискрет-
§ 431 УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 169
ный спектр. Если оператор G дан первоначально в «*»-представ-
[Л / Q \ 1
G — G ^лг) и собственные функции операторов L
И М суть Op! (х), 1|)2 (х), . . - , -фл (дг), .... -фот (лг), ... И ф! (х), ф2 (ЛГ), . . . ..., ф„(лг), ..., фр(х), ..., соответственно, то матричные элементы оператора G в «/.«-представлении определяются формулой
Gmn = § Фт (х) G (— ih , х) (х) dx, (43.1)
а в «М»-представлении
= § фа (¦*) G {— ih ~, xj фР (х) dx. (43.2)
Спрашивается, какова связь между матрицей G' с элементами Gmn и матрицей G" с элементами Gap? Разложим собственные функции оператора М по собственным функциям оператора L:
Фр W = 2 W 5«Р> Ф“ W = Jj (х) Sma, (43.3)
п ' m
причем
5„p = § (*) фр (x) dx, Sma = 5 x^m (*) Ф« (*) dx- (43-4)
Подстановка (43.3) в (43.2) с учетом (43.1) дает
G«P = 2HS^GA- (43.5)
т п
Совокупность величин S„p можно рассматривать как матрицу S, строки которой нумеруются собственными значениями величины L, а столбцы —собственными значениями величины М. Наряду с матрицей S рассмотрим сопряженную матрицу S+, элементами которой являются
(S+)am = SU (43.6)
так что S+ = S* и, следовательно, строки матрицы нумеруются собственными значениями М, а столбцы— собственными значениями L. На основании (43.6) формула преобразования от Gmn
(43.5) может быть написана в виде
GaP = 22(S+)«A*S»P> (43.7)
т п
или, на основании правила умножения матриц, в матричном виде
G" = S'VG'S. (43.8)
Таким образом, матрицу S и сопряженную ей матрицу Sr можно рассматривать как матрицы, с помощью которых совер-
170
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
[ГЛ. VII
шается преобразование оператора от одного представления («L») к другому («УИ»). Матрица S обладает важным свойством. Перемножая функции фа(*) и фр (х) и интегрируя результат по х, на основании ортогональности собственных функций мы получаем
2ES^»lA»» = 6ap, (43.9)
т п
ИЛИ
HSS„S„ р = 6«р, (43.10)
п
т. е. в матричной форме
S+S = 1. (43.11)
Подобным же образом, разлагая функции г|)„ (х) по функциям Фр (лг), можно убедиться, что
ZS^n = 8mn, (43.12)
а
т. е.
SS+= 1. (43.11')
Матрица, удовлетворяющая условиям (43.11) и (43.11'), называется унитарной. Так как произведение S+ на S или S на S+ дает единичную матрицу, то S+ есть матрица, обратная S, т. е.
S+ = S-K (43.13)
Заметим, что унитарная матрица не является эрмитовской, так как для эрмитовской матрицы вместо (43.13) мы имели бы S+ = S. На основании изложенного мы можем сказать, что преобразование оператора от одного представления к другому совершается с помощью унитарной матрицы S с элементами (43.4). Само преобразование (43.8) называют унитарным.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed