Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 60

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 229 >> Следующая

164 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
а-му собственному значению L = La. Эта же волновая функция в «.^-представлении запишется в следующем виде:г)
ы*)=2ся(1о)ы*). (41.6')
п
В своем собственном представлении всякая величина изображается диагональной матрицей. В самом деле, если (я) есть собственная функция оператора L, то его матрица имеет элементы
Lmit = $ 'ФтМ’я dx = $ dx = Ln6mn, (41.7)
где Ln есть n-e собственное значение оператора L. Поэтому задачу о нахождении собственных значений оператора L можно рассматривать как задачу о приведении матрицы оператора L, данного в произвольном представлении, к диагональному виду (41.7).
Так как коммутирующие операторы имеют общую систему собственных функций, то их матрицы могут быть одновременно приведены к диагональному виду.
Соответствующие формулы для случая непрерывных матриц получаются из рассмотренных выше заменой сумм на интегралы. Вывод их настолько прост, что мы ограничимся приведением результатов. Среднее значение величины L будет равно
L = \\c*(p')Lp^{p)dp'dp (41.2')
(импульсное представление) и
L = $ $ 1]5 (л') Lx-x\\) (х) dx' dx (41.2")
(координатное представление). Вместо уравнения (41.4) будем иметь соответственно
\Liypc{p)dp=-Lc(p')> (41.4')
5 Lx.xy\> (х) dx = bp (х') (41.4")
и, наконец, вместо (41.7)
Pp'p = p'b(p'-Р), (41.7')
хХ'Х = х'8(х' -х). (41.7")
Уравнения (41.4') и (41.4") будут либо дифференциальными, либо интегральными уравнениями.
й) Функция i|pa (я) может быть непосредственно получена путем решения дифференциального уравнения = Решение уравнения (41.4) и (41.5) обычно не проще решения указанного дифференциального уравнения. Однако при приближенном решении уравнений (гл. XI) уравнения в матричной форме оказываются весьма полезными.
§ 42] ЗАВИСИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ОТ ВРЕМЕНИ 165
§ 42. Уравнение Шредингера и зависимость операторов от времени в матричной форме
Уравнение Шредингера (28.3) может быть переписано в матричной форме, если разложить if>(*, t) в ряд по собственным функциям % (х) какого-либо оператора. Подставляя в (28.3) яр (ху t) в виде ряда
ч>(*. о=23 с» (о ч>« (¦*¦).
п
умножая слева на ij;*, (*) и интегрируя по х, находим
ih^f = ^Hmncn, Ш = 1. 2, 3............ (42.1)
tl
где
Нщп =
5 (*) Н\рп (х) dx (42.2)
есть матричный элемент гамильтониана Н. Это уравнение по заданным в начальный момент сп (0) (т. е. по (х, б)) определяет Сп (0 (т. е. ^ (лг, 0).
Пусть Н есть оператор полной энергии. Возьмем в качестве функций собственные функции оператора Я. Тогда cn(t)
суть амплитуды стационарных состояний, а матрица Нтп будет диагональной:
Нтп = \ УтЩп dx = ЕпЬтп. (42.3)
Подставляя эти значения Нтп в (42.1), находим уравнения Шредингера для этого случая:
ih^ = Emcm. (42.4)
Отсюда
c.m(t) = cm (0) е г’, (42.5)
т. е. амплитуды стационарных состояний гармонически зависят от времени. Это совпадает с выводами § 30.
Применим теперь уравнение Шредингера в матричной форме к вычислению производной оператора по времени. Дифференцируя по времени среднее значение (41.2), находим
d (L) dL VI VI * dLmn - dcm ^ ^ ^
~dT ~ЧГ " ZlZl m dt Cn^~ ZdZd dt Lmn°n "T" ZiZi m mn dt •
m и m n m n
из (42.1) имеем
- ih d-%- = У HUct, ih d-f = 2 Hnkck.
166 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
^ d(l)
Подставляя эти производные в выражение для получаем
Т “22е” Сп + Ш 2 2 2 c'nLmnHnkCk
т п т п k
-bnlll H*mkctLmncn.
т п k
Учитывая, что в силу самосопряженности оператора
Hmk =Н),т,
а также то, что индексы т, п и k пробегают одни и те же значения, мы можем (переменив во втором члене обозначение k на я, а в третьем k на т)' переписать предыдущее уравнение в форме
= 2 2^ "lP LmkHkn ~ 2 HmkLkn\ с„.
т п т п \ k к /
Учитывая, что по правилу умножения матриц
У1 LmkH kn = к
НmkLkn ” (,Нь)тп,
k
получаем
‘-Ж =чг = 2 2'* (т+ и М -'»• <42-6>
m п
где
^ (?я - ЯДиге = i 2 = [я, L]mn (42.7)
k
есть матричный элемент скобки Пуассона. Из сравнения с формулой для среднего (41.2) следует, что матричный элемент опе-dL
ратора -jj есть
dt\ j_ I и /1
dt Ln dt Llmn-
(42.8)
Формулы (42.6) и (42.8) представляют собой формулы (31.4) и (31.7), соответственно, в матричном представлении.
Рассмотрим важный частный случай. Пусть гамильтониан Н не зависит от времени, так что Н есть оператор полной энергии. Возьмем специально энергетическое представление («?»-представ-
§ 421 ЗАВИСИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ОТ ВРЕМЕНИ 167
ление). Тогда матрица Н будет диагональной:
Нkn ~ FImk “
Предполагая еще, что оператор L не зависит явно от времени, мы получим из (42.7) и (42.8)
ИЛИ
(¦37)mл = l^йm'гZ'm'г, ^42-9^
где
СОтп = ^^ (42.10)
есть боровская частота. В частности, матрица оператора скорости будет иметь элементы
{dl)mn ^ ШтпХтп’ (42.11)
где хтп — элементы матрицы координаты *. Соотношение между скоростью и координатой получается совершенно таким же, как для осциллятора, колеблющегося с частотой ютп.
Формула (42.9) становится совершенно очевидной, если применить так называемый гайзенберговский способ представления операторов. Этот способ заключается в том, что матрица какого-нибудь оператора L строится с помощью волновых функций стационарных состояний, взятых для времени t:
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed