Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Матричный элемент суммы двух матриц А и В будет равен
Ср'р = Ар'р -(- Вр'р, (40.9')
а матричный элемент произведения двух матриц А и В будет равен
= (40.1 Г)
Приведем примеры непрерывных матриц. Рассмотрим сначала оператор координаты х в «р»-представлении. Согласно определению матричного элемента имеем
г» if*
Хр'р = \ Цр'Х^р dx = 2Ш j е п хе п dx 5=3
* л 1 г* _ ИР'т.Е^Л л
= т1шУ П dx = -ihfp8(p'-p). (40.16)
Далее, по формуле (39.5'), определяющей действие оператора L, данного в матричной форме, на волновую функцию имеем
ь (р') = jj Хр’рС (р) dp = — ih J ~ 6 Ср' - р) с (р) dp.
§ 40] МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 161
Производя здесь интегрирование по частям, находим
Ь (р') = [— (р' р) с (Р)]±“ + Ш J б (р’ - р) dp,
ИЛИ
b(p) = ih^p-, (40.17)
т. е. оператор х в «р»-представленин может быть дан либо в виде матрицы (40.16), либо в виде дифференциального оператора itl~ (40.17). Последний результат нам уже знаком (ср. § 13).
Оператор х в своем собственном представлении может быть изображен диагональной матрицей
хХ'Х = х'8(х — х'), (40.18)
а оператор любой функции V (х) — матрицей
VX'X = V(x')b(x-x'). (40.18')
В самом деле, по формуле (39.5'), заменяя там обозначения b
на ф, с на яр, р на х, получаем
Ф (*') = \ Vx'x^ (х) dx = \V (х') 8 (х - х') яр (х) dx,
или
Ф(х) = V (*)гр(х), (40.19)
т. е. действие функции V (х) в «^-представлении сводится к умножению яр (х) на V (х). Результат опять-таки известный.
Подобным же образом оператор Р может быть дан в матричной форме
Рх'х = + ш й&(х-X'). (40.20)
Имеем
Ф (х') = Px'xty (*) dx = ih ^ ~ б (х — х') if (х) dx. Интегрируя здесь по частям, получаем
ф (Х) = -Ш§-Хц(х), (40.21)
т. е. матричное представление (40.20) оператора Р эквивалентно Дифференциальному Р = —
На основании формул (40.18) и (40.20) любой оператор, Данный в виде L ^—& д~х> x^ = L(P, х ), можно написать в
Л гт т т т' _ ~..
162 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
матричной форме таким образом, что
Ф (*') = Lx>x\1) (дг) dx = L(— ih д-хт, x,Sj г|) (*'). (40.22)
Для определения матричных элементов Lx>x достаточно рассматривать операторы Р и х в!(Р, х) как матрицы (40.18) и (40.20) и выполнить умножение и сложение этих операторов согласно правилам (40.9') и (40.1 Г) для непрерывных матриц. Нетрудно, например, убедиться, что в матричном координатном представлении гамильтониан
5&+V» <40'23>
будет иметь матричные элементы
Н*’* = -1 д'~ шх,) + v (*')8 (х -*')• (40-24>
§ 41. Определение среднего значения и спектра величины, представляемой оператором в матричной форме
Формула (19.1) для среднего значения величины, изображаемой оператором в состоянии я{)(х, /), может быть
легко переписана в матричной форме. Пусть я^ (х) — собственная функция, принадлежащая п-му собственному значению величины, взятой за независимую переменную (например, энергии). Представим яр (х, t) и яр* (.v, t) в виде ряда
'И*. 0 = 2сЛ(дг> 0. (41.1)
п
¦ф* (х, 0 = 2]стфт (х, t). (41.Г)
пг
Подставив их в формулу
? — \ 'Ф* (х> 0 L Ф (*> 0 dx,
получим
L === ^ | СщСц ^ фш^фя dx,
п пг
т. е.
Z = 'ZZc*lLmncn. (41.2)
п m
Это и есть выражение для среднего значения L величины L, если представляющий ее оператор L дан в матричной форме. Рассматривая совокупность сп как матрицу я]) с одним столбцом
§ 4!] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И СПЕКТРА ВЕЛИЧИНЫ
163
(40.12), а совокупность с^ —как сопряженную матрицу i|)+ с одной строкой (40.12'), мы можем по правилу матричного умножения записать (41.2) в виде
1 = г|)+1л|). (41.3)
Спектр величины (совокупность ее возможных значений) и собственные функции представляющего ее оператора L определяются согласно (20.2) из уравнения L% = Li|)?. Подставляя в это уравнение ^ из (41.1), умножая слева на tym и интегрируя по х, получим
2сп $г|dx = L^cn\dx или 2Lmncn = Lcm. (41.4)
Это —бесконечная система линейных однородных алгебраических уравнений для определения амплитуд собственной функции сп и собственных значений оператора Ln.
Как известно из алгебры, система однородных линейных
уравнений только в том случае имеет решение, отличное от нуля, когда определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль. В нашем случае этот определитель имеет
бесконечное число строк и столбцов*)
Ьц — L Lj2 L13 ... Lin
^21 ^22 ^ ^23 • • • ^2 П
1П2
-0.
(41.5)
Это уравнение накладывает ограничения на возможные значения L. Оно является уравнением бесконечно высокой степени L (трансцендентным) и будет иметь бесконечно большое число корней: L = Lly L2, ..., La, ... В алгебре доказывается, что корни такого уравнения обязательно действительны. Совокупность значений La, при которых разрешима система уравнений (41.4), и будет совокупностью собственных значений оператора L. Подставляя в (41.4) один из корней уравнения (41.5), например, La, мы найдем соответствующее этому корню решение
L, С\ с± (Zvq), Со с>2 (Zvr/)> • • •, с л сп (Z>a), .... (41.6)
Совокупность найденных таким образом значений си с2, .с!1У ... и будет собственной функцией оператора L, принадлежащей
г) Такой определитель следует рассматривать как предел определителя, образованного для системы конечного числа N неизвестных при N -> со. Уравнение (41.5) имеет смысл, если такой предел существует. Пример такого Уравнения читатель найдет в книге: Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, т. 1, Физматгиз, 1963, гл. И.
