Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
ООО
(40.1)
Важным случаем диагональной матрицы является единичная матрица б с элементами Ьтп, равными
_ с . , ( 0, т Ф п,
6т,( = $я&М*= _ (40.2)
I 1 ^ //2
Эта матрица имеет вид
1 0 0 0 ...
0 1 0 0 ...
0 0 1 0 ...
0
Из определения матричных элементов единичной матрицы (40.2) следует, что единичная матрица остается единичной в любом представлении, ибо равенство (40.2) имеет место для любой системы ортогональных ^функций ^(х). Элементы диагональной матрицы L всегда могут быть записаны в виде
Lmn = Ln8mn. (40.3)
Часто наряду с какой-либо матрицей L с элементами Lmn приходится рассматривать производные от нее матрицы. Среди таких отметим сначала комплексно сопряженную матрицу L*. Элементы этой матрицы комплексно сопряжены соответствующим элементам исходной матрицы:
(L*)mn = Lfnn. (40.4)
Далее, изданной матрицы можно образовать транспонированную матрицу/!. Эта матрица образуется из исходной путем взаимной замены строк и столбцов. Элементы этой матрицы определяются формулой
(L)mn = Lnm. (40.5)
Если мы возьмем матрицу, комплексно сопряженную транспонированной, т. е. L*, то мы получим матрицу, которую назы-вают сопр яженной к исходной и обозначают через L+. Ее
158 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
элементы определяются формулой
(L*)mn = (L*)mn = L%m. (40.6)
В том случае, когда сопряженная матрица равна исходной:
L~V~L (т. е. Lmn = Lnm)t (40.7)
она называется эрмитовской или самосопряженной. Это определение вполне соответствует нашему прежнему определению эрмитовского или самосопряженного оператора (18.7). В самом деле, если оператор L — эрмитовский, то мы имеем для его матричных элементов
Lmn = ^ dx = ^ i|)„ L*Vn dx = L*m-
Рассмотрим теперь алгебраические операции над матрицами. Обратимся сначала к сложению матриц. Пусть дан некоторый оператор С, являющийся суммой операторов А и В. Тогда под суммой матриц А и В мы будем понимать' матрицу оператора С. Легко найти элементы этой матрицы. Имеем
С,„п = I dx = $ VnAtyn dx + $ dx, (40.8)
следовательно,
Cn m — Am,i-)r Bmn> (40.9)
т. e. матричный элемент суммы операторов равен сумме соответствующих элементов каждого из входящих в сумму операторов. Весьма важным в смысле приложений является правило умножения матриц. Для установления этого правила вычислим матричный элемент оператора С, являющегося произведением двух операторов А и В. Пользуясь определением матричного элемента, получаем
стп 5 VnCtytdx = $ VmA (В^л) dx. (40.10)
Величина В\рп сама является некоторой функцией и может быть разложена в ряд по ортогональным функциям 'ф^(х):
=2 b,$k (*), k
где
Ьи = $ dx = Bkn.
Подставляя это разложение в (40.10), получим
С„т = I VnA ^ ?/,• A dx = У] Bkn \ l|)®( Atyk dx='? BknAmk¦
k k k
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
159
Следовательно,
(40.11)
В (40.11) заключено правило умножения матриц: чтобы получить матричный элемент Стп матрицы, представляющей произведение операторов А и В, нужно элементы tn-й строки матрицы А умножить на элементы п-го столбца матрицы В и сложить. Правило сложения матриц (40.9) и правило умножения матриц
(40.11) позволят по данным матрицам операторов Л, В, ... находить матрицы, представляющие различные функции от А, ?,...
Кроме того, правило умножения позволяет в несколько иной форме представить формулу (39.5), выражающую результат действия оператора L на волновую функцию. Именно, эту формулу можно рассматривать как матричное произведение. Для этого запишем волновую функцию в «^-представлении в виде матрицы с одним столбцом
Теперь легко видеть, что (39.5) может быть написано в виде матричного произведения
где ф есть матрица (40.13), яр —матрица (40.12), a L — матрица
(39.7). В самом деле, например, Ьт есть элемент т-й строки и первого столбца матрицы (40.13). Он должен получиться, согласно (40.11), путем перемножения элементов tn-й строки матрицы (39.7) на элементы первого столбца матрицы яр (40.12). Но это как раз и дает уравнения (39.5). Сопряженную волновую функцию с*, с$, ..., Спу ... можно записать в виде матрицы, сопряженной к (40.12), именно, в виде матрицы с одной строкой:
q 0 о
с2 0 0
(40.12)
яр-
Таким же образом представим и функцию ф:
ьг о о ... ь2 о о ...
(40.13)
Ф =
Ьт 0
Ф = Ь|\
(40.14)
160 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. VII
С записью волновых функций в виде матриц (40.12) мы встретимся в теории магнитного момента электрона.
Заметим еще следующий результат из правила умножения
матриц. Матрица О, сопряженная к произведению С двух матриц Л и В, должна писаться в виде
С+ = (Л?)+ = ?+Л+. (40.15)
В самом деле, элементы С?пп по определению сопряженной
матрицы равны C'tm• Из (40.11) имеем
Ста “ С пт — 2 A'nkBkm = 2 ВткА’Цп — (B+)mk (^+)/w
k k k
Совершенно аналогичным путем (заменяя суммы на интегралы, символ бт/г на б (р' —р)) получаем соответствующие формулы для непрерывных матриц.
Именно, вместо (40.2) имеем единичную матрицу
б-б (р'-р). (40.2")
Элементы диагональной матрицы запишутся в виде
Lp.p = Hp')6(p'-p). (40.3')
Свойство самосопряженности выразится формулой
= (40.7')
