Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следует различать два важных случая: когда силы не зависят от скорости частицы и когда они зависят от нее. В первом случае сила F является функцией только координат частицы и времени и может быть представлена как градиент некоторой функции U (.х, у, г), которую мы назовем силовой функцией1):
F = -V?/(*, у, г, /). (27.1)
Если силы не зависят от времени, то U (х> //, г) есть не что иное, как потенциальная энергия частицы. В этом случае функция Гамильтона совпадает с полной энергией частицы и равна Т + U (х, у, г). Соответствующий гамильтониан есть (26.8) и совпадает с оператором полной энергии. В более общем случае функция Гамильтона есть сумма кинетической энергии Т и силовой функции U : Н — Т + U (ху //, z9 t). Так как U не является
*) Чаще в механике под силовой функцией понимают — U. Заметим еще, что, представляя силу как градиент от U, мы исключаем вихревые поля (случай, когда rot F Ф 0). Однако такого рода силы, не зависящие от скорости, в механике микрочастиц неизвестны.
ГАМИЛЬТОНИАН
113
теперь потенциальной энергией, то и Я не есть полная энергия системы.
В полной аналогии с классическим выражением функции Гамильтона гамильтониан напишется в квантовой механике для этого случая в виде
Н = Т + [/(*, у, г, /), (27.2)
где U — силовая функция.
Остается рассмотреть случай сил, зависящих от скорости частицы. В микромире единственными известными силами такого рода являются силы, возникающие в электромагнитном поле (сила Лоренца). Поэтому достаточно рассмотреть гамильтониан для движения заряженной частицы (заряд е, масса |i) в произвольном электромагнитном поле.
Как известно из теории поля, произвольное электромагнитное поле может быть описано с помощью скалярного потенциала V и векторного потенциала А, причем
(27.3)
if = rot А, (27.4)
где <& — напряженность электрического поля, 3€ — напряженность магнитного поля.
Классическая функция Гамильтона //, приводящая к правильным уравнениям движения в электромагнитном поле, имеет вид
Н = 5ir(p-'-A)’ + ^ <27-5»
где р (рх, ру, рг) есть вектор обобщенного импульса ^так что
р — А ——• [-tv, где V —скорость частицы, но р jj,v х).
Оказывается, что в квантовой механике мы получаем правильный гамильтониан, если под р будем понимать оператор импульса Р = — ibS, т. е. оператор Гамильтона для этого случая есть
*-*(>-: *7+*. <27б)
Если помимо электромагнитных сил имеются еще и другие силы, описываемые силовой функцией U, то общим выражением для гамильтониана будет
й=^{Р-7А']'+еУ + и- <27'7'
*) См. дополнение VI.
114
ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
По определению произведения операторов
Далее, на основании (24.4) имеем
поэтому
(
Повторяя вычисления для остальных двух членов в (27.8) и складывая результаты, находим
Оператор функции Гамильтона или энергии, как следует из изложенного в этом и предыдущем параграфах, определяется двумя обстоятельствами: 1) природой частицы (в общем случае — системы частиц, ср. § 102) и 2) природой действующих на нее полей.
Этот оператор является основным для механики, так как, выбирая его, мы в сущности формулируем на математическом языке все особенности той системы, с которой мы намерены иметь дело.
В частности, число независимых переменных, входящих в гамильтониан, по определению равно числу степеней свободы нашей системы.
Успех решения задачи, в смысле согласия выводов теории с опытом уже предопределяется тем, насколько основательно выбран гамильтониан (все ли важные взаимодействия учтены!).
Обычно в качестве независимых переменных в гамильтониане берут декартовы координаты частицы, так как именно при этом выборе переменных операторы взаимодействий (например, потенциальная энергия) выражаются наиболее просто (числом), а оператор кинетической энергии — сравнительно простым дифференциальным оператором второго порядка. Однако возможны и другие выборы независимых переменных г).
Чтобы получить выражение гамильтониана в произвольной криволинейной системе координату, q2, q3, достаточно преобразовать
J) Если частица обладает «спином» (ср. §§ 58, 59, 60), то наряду с координатами в гамильтониан входит спиновая переменная.
ГАМИЛЬТОНИАН
115
полученный нами для декартовой системы координат гамильтониан в эту систему, следуя обычным правилам дифференциального исчисления. (Пример такого преобразования дает формула (26.5).) Вид гамильтониана в криволинейной системе координат не находится в таком простом отношении к классической функции Гамильтона, какое имеет место в декартовой системе координат (замена р на оператор Р). Это обстоятельство не является случайным. Декартова система в квантовой механике выделена среди всех других координатных систем тем, что в этой системе кинетическая энергия выражается суммой квадратов компонент импульса рХ9 ру, pz, так что измерив импульс, мы можем вычислить кинетическую энергию.
В криволинейной системе координат кинетическая энергия выражается в виде квадратичной функции обобщенных импульсов:
з
Т= 2 ?2. qs)PiPk, (27.10)
i,k= 1
причем коэффициенты aik являются функциями координат. Измерение pk (k = 1, 2, 3) еще не определяет кинетической энергии, так как нужно еще знать aik. Последние суть функции координат qk (k = 1, 2, 3) и поэтому не могут быть определены одновременно с импульсами pk. Таким образом, только в декартовой системе координат измерение импульсов есть в то же время и измерение кинетической энергии г).
