Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Состояния с (—1)' = + 1 (/ — четное) называются четными, или обладающими положительной четностью, состояния с (—1)* = = —1 (I — нечетные) нечетными, или обладающими отрицательной четностью.
Отметим, что понятие четности состояний является более общим, нежели четность состояния с заданным моментом количества Движения (см. § 107).
ПО ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ (ГЛ. III
§ 26. Оператор энергии и функции Гамильтона
а) Оператор кинетической энергии Т. Опыт показывает, что кинетическая энергия микрочастиц связана с импульсом таким же образом, как и для макроскопических тел *), т. е. кинетическая энергия Т частицы, имеющей массу ц и импульс р, равна
7’ = |==ЩГ^ + ^+^- <261)
Этот факт заставляет написать оператор кинетической энергии в виде
f = |г = i <26-2)
Подставляя сюда значение операторов Рх, Ру, Рг из (24.1), находим
T = -~V2, (26.2')
/ д2 д* д2 \ где V2 есть оператора Лапласа ^V2 — ^2 + ^2 + gpj • В СИЛУ та"
кого выбора оператора Т его собственные значения Т равны (26.1),
если под рх, рг, ру понимать собственные значения операторов импульса Рх, Ру, Рг.
В самом деле, уравнение для собственных функций (х, у, г) оператора Т есть
Tty = Tty. (26.3)
Ему удовлетворяет функция, представляющая плоскую волну де Бройля
,Рх*+РуУ + Ргг
*Т{Х> У’ г)=ф^? П • (26А)
Эта же функция является собственной функцией операторов импульса, так что кинетическая энергия Т измерима одновременно с импульсами рх, ру, рг (разумеется, операторы Т, Рх, Ру, Рг коммутируют между собой). Оператор f может быть легко написан в любой криволинейной системе координат. Для этого достаточно написать оператор Лапласа V2 в соответствующей системе координат. В частности, в сферической системе координат оператор V2 имеет вид
<26-5>
где Ve<p следует взять из (25.10).
*) Это обстоятельство в сущности уже использовано в основных соотношениях де Бройля (см. § 7).
ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ И ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА
111
Подставляя V2 из (26.5) в (26.2') и имея в виду (25.9), мы получим
f=af'+$i> (26-6)
где М2 есть оператор квадрата момента импульса, а Тг есть
ъ—?*?(''&)¦ <26-7)
Оператор Тг может рассматриваться как оператор кинетической энергии, соответствующей движению по радиусу-вектору, а оператор М2
2^— как оператор кинетической энергии трансверсального движения1).
б) Оператор полной энергии Н. Заметим сначала, что оператор потенциальной энергии U, поскольку последняя есть функция только координат частицы х, у, z, есть просто U (х, у, z). В классической механике полная энергия есть сумма потенциальной и кинетической энергии.
Подобным же образом и в квантовой механике оператор, изображающий полную энергию, есть сумма операторов кинетической и потенциальной энергий, т. е.
H = T+U(x, у, г). (26.8)
Вид потенциальной энергии 0 (х, у, г) так же, как и в классической механике, заимствуется из опыта и характеризует силовое поле, действующее на частицу.
Заметим, что в квантовой механике нельзя сказать, что полная энергия есть сумма кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия есть функция импульсов, а потенциальная — функция координат.
Как мы знаем, не существует таких состояний квантовых ансамблей, в которых частицы имели бы одновременно определенные импульсы и координаты.
Поэтому нельзя измерить полную энергию частицы, измеряя порознь ее кинетическую и потенциальную энергии 2).
Полная энергйя должна измеряться непосредственно как одно целое. Возможные значения полной энергии частицы зависят
*) Формула (26.6) вполне отвечает представлению кинетической энергии в классической механике в виде
2ц ^2 ц/-2'
где рг — проекция импульса на радиус-вектор г.
2) Операторы Т и U, разумеется, не коммутируют, в чем легко убедиться,
пользуясь правилом перестановки (24.4). Отсюда следует, что Т и U не могут
быть определены одновременно для одного и того же состояния г|з.
112
ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
от вида U (х, у, г), т. е. от рода частицы и от силового поля, в котором она движется. Нахождение этих значений составляет одну из важнейших задач квантовой механики и будет рассмотрено позже.
Полную энергию, выраженную через импульсы и координаты, в классической механике называют функцией Гамильтона. Оператор кинетической энергии Г у нас выражен через операторы импульса (через (26.2)), поэтому оператор Н мы будем также называть оператором функции Гамильтона или коротко — гамильтонианом.
§ 27. Гамильтониан
Понятие функции Гамильтона может быть распространено также и на неконсервативные системы. Поэтому оно является несколько более общим, чем понятие механической энергии.
В классической механике существуют простые правила для написания функции Гамильтона. Ее вид определяется природой механической системы, т. е. природой частиц и их взаимодействием между собой и с внешним полем. Зная эту функцию Гамильтона, можно легко найти уравнения движения в произвольной системе координат.
Подобные же правила для написания оператора функции Гамильтона — гамильтониана — имеются и в квантовой механике.
Мы ограничимся пока рассмотрением движения одной частицы во внешнем поле и только позднее (§ 102) рассмотрим гамильтониан для системы частиц.
