Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
104 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
ОХ). Согласно изложенному в § 21 уравнение для собственных функций оператора импульса имеет вид
РЛ = Рх% (24.5)
где рх — собственное значение. Используя явное выражение для Рх, получаем
= (24.5')
Это уравнение легко интегрируется
,PjS
%х(х) = Ме л , (24.6)
где N — постоянное число. Для того чтобы это решение было всюду конечным (непрерывность и однозначность этого решения очевидны), достаточно, чтобы рх было любым вещественным числом. Поэтому спектр собственных значений рх получается непрерывным
— оо < рх < + оо. (24.7)
Множитель N можно выбрать так, чтобы функция -фРл. была нормирована к 6-функции х). Для этого нужно положить N = (2я#)-1А. Окончательно нормированные и ортогональные собственные функции оператора Рх имеют вид
= <24-8>
(24.9)
т. е. собственные функции оператора импульса \рРх суть плоские волны де Бройля. Это вполне естественно. То, что волна де Бройля есть состояние с определенным значением импульса частицы, было в сущности исходным пунктом квантовой механики (§§ 7, 12).
§ 25. Оператор момента импульса микрочастицы
Под моментом импульса частицы (моментом количества движения) в классической механике понимают векторное произведение радиуса-вектора г, проведенного от некоторой избранной точки (например, центра сил) к частице, на импульс
М = | гр ]. (25.1)
Значение этой величины в механике определяется тем, что она является интегралом движения в поле центральных сил. В кван-
*) См. дополнение III, формулу (20).
5 25] ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ 105
товой механике момент импульса изображается оператором
М = [гР], (25.2)
где Р — векторный оператор импульса (24.Г), а г — радиус-вектор. Основанием к такому выбору оператора момента импульса является не только внешняя аналогия с классическим выражением
(25.1), но и то, что изображаемая оператором М величина является также интегралом движения в поле центральных сил (ср-. § 33) и обладает свойствами, аналогичными свойствам момента импульса в классической механике.
Операторы проекций момента импульса на оси координат, согласно определению (25.2), имеют вид
ti* = P*y-PyZ = ih(z±-y?-Му = Рхг - Pzx = iti(x-^ — z ~ Mz = Рух - Рху = Ш {у А - х }
(25.3)
и, наконец, для оператора квадрата, момента' импульса получаем следующее выражение
№ = Ml + М? + Ml = - ft2 {(г ~~у -|г-)2 +
д \г , /. д__ д W
+ ('?-
Найдем правила перестановки для компонент момента импульса. Эти правила понадобятся нам в дальнейшем, а сейчас они могут служить иллюстрацией приемов алгебры операторов. Вычислим коммутатор G — МуМг — MzMy. Подставим сюда вместо Му и М. их-выражение (25.3). Вычислим MyMz:
МуМ2 = {Ргх - Рхг ) (Рху - Рух) = Р-хРху - РхгРху -
— Pzxpyx + РхгРуХ = уРгхРх — гуР\ - хгРгРи + гРуРхх
(так как у и Рг, Рх, г, и Рх, Ру, х, и Pz, Ру перестановочны). Подобным же образом
МгМу = уРгРхх - гуР% - хгРгРу + гРуХРх.
Вычитая из первого равенства второе, найдем
МуМг - МгМу = yPz(xPx — Рхх) + гРу (Рхх - хРх).
Пользуясь теперь (24.2), получаем
МуМг — МгМу = ih {yPz — Pyz) = ihMx,
106 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
Меняя циклически х, у, г, получим все три перестановки:
МуМг-МгМ-у = ШМх, (25.5)
мгмх-мхмг = тму, (25.5')
МхМу — МуМх = ihMz. (25.5")
Таким образом, операторы компонент момента импульса некоммутативны.
Напротив, каждая из компонент момента импульса коммутирует с квадратом полного момента импульса:
МХМ2-М2МХ = Ъ, (25.6)
M,jM2-№Mv = 0, (25.6')
М,М2-М2Мг = 0. (25.6")
Доказательство предоставляем читателю.
Из этих правил перестановки следует, что проекции момента импульса Мх, Му, Мг не могут быть одновременно измерены. В состоянии, в котором одна из проекций имеет определенное значение- ((AM?^ = 0), другие две проекции не имеют определенного значения ((ДМ,,)2 > 0, (ДМ*)2 > 0)х). Напротив, любая из проекций и квадрат полного момента могут быть измерены одновременно.
Определим теперь возможные значения проекции момента импульса на какое-либо произвольное направление и возможные значения абсолютной величины момента (точнее — значения М2). Для решения этой задачи удобно перейти к сферической системе координат, взяв некоторое избранное направление за ось OZ. В этой системе координат
x = r sin 0 cos ф, x — r sin 9 sincp, 2 = rcos0, (25.7)
где 9 есть угол между осью OZ и радиусом-вектором г, а ф — угол,
отсчитываемый в плоскости ху от оси ОХ.
Несколько громоздкое преобразование формул (25.3) из декартовой системы координат в сферическую приводит к следующему результату:
+ i/^sincp~-}-ctgecos<p-|^), (25.8)
Му = — it (cos ф - ctg б sin ф , (25.8')
M, = -ih^, (25.8")
______________М2 = -ПЩ,9, (25.9)
2) Исключением является случай М2 = 0, из которого следует М^ — М2 =. = = 0.
§ 251 ОПЁРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ №?
где vS, ф есть так называемый оператор Лапласа для сферы
^¦»-тет|-(81"еж)+гэт|>- <2510)
Так как операторы (25.8) и (25.9) действуют только на углы 0, Ф, то волновую функцию достаточно рассматривать в зависимости лишь от этих углов, т. е.
