Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
где сал и ca (L) суть амплитуды собственных функций оператора L : 'фя (л:) или соответственно if (х, L) в разложении г|)а (*). В соответствии с формулами (22.15) и (22.16) среднее значение величины L в смешанном ансамбле есть
1 = %Ра1а, (22.18)
а
где Za есть среднее значение L в чистом ансамбле ifa:
Ъа — dx. _ (22.19)
§ 23. Условия возможности одновременного измерения разных механических величин
Мы видели, что в квантовой области не существует таких состояний частиц, в которых импульс и соответствующая ему координата одновременно имели бы определенное значение. В таком же взаимно исключающем друг друга отношении находятся и многие другие величины. В самом деле, чтобы существовали состояния, в которых две величины L и М одновременно имели бы определенные значения (ДL)2 — О, (AM)2 = 0, нужно, чтобы волновая функция такого состояния была общей собственной функцией операторов L и М. Между тем уравнения для собственных функций операторов L и М:
UfL = L^L и Щм = Мг|)ж, (23.1)
имеют, вообще говоря, различные решения % Ф г|)ль _______________
Поэтому в состояниях с определенным значением L( (AL)2=0), величина М не имеет определенного значения ((ДМ)2 > 0) и, наоборот, в состоянии с определенным значением УИ((ДМ)2 = 0) величина L не имеет определенного значения ((AL)2 > 0).
Только в особых случаях две величины L и М имеют одновременно определенное значение (для этого нужно, чтобы = %). Можно показать, что условием того, чтобы две величины L и М всегда могли иметь рдновременно определенные значения, является коммутативность их операторов L и М. Иначе говоря, должно иметь место операторное равенство *)
LM = ML. (23.2)
*) См. дополнение IV.
102 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
Напротив, если
А А А А
ЬМфМЬ,
(23.3)
то величины L и М не имеют одновременно определенных значений (кроме, может быть, исключительных).
Две величины, изображаемые коммутирующими операторами, могут иметь одновременно определенные значения и поэтому, по крайней мере, в принципе, могут быть измерены одновременно.
Две величины, изображаемые некоммутирующими операторами, не могут одновременно иметь определенные значения и поэтому не могут быть одновременнр измерены х).
Измерение одной из таких величин L приводит к состоянию г|)?. Измеряя в этом состоянии М, мы получим некоторое новое состояние^, не совпадающеечС исходным %. Иными словами, измерение одной из таких величин меняет состояние системы таким образом, что значение другой величины становится неопределенным.
Мы видим, что и в общем случае мы встречаемся с влиянием измерительного прибора на состояние системы подобно тому, которое мы рассмотрели выше на примере измерения импульса и координаты (ср. §§ 14, 15). Поэтому всякий прибор, применяемый в квантовой области для измерения механических величин, относящихся к микрочастицам, должен быть тщательно рассмотрен с точки зрения анализа значения получаемых с его помощью результатов измерения и тех изменений в состоянии системы, к которым он может приводить. Всякого рода догматические суждения, не основанные на анализе конкретного устройства аппарата, могут привести к ошибочным выводам.
§ 24. Операторы координаты и импульса микрочастицы
Поскольку волновая функция рассматривается нами как функция координат частицы, постольку оператор координаты частицы X есть само число х. Действие функции координат частицы F (х, у, г) как оператора сводится просто к умножению г|) (х, у, г) на F (х, у, г).
При этом же выборе переменных 2) в волновой функции операторы проекций импульса частицы, в соответствии с § 13, будут
(24.1)
или в векторной форме
P= — ihV, где V есть оператор градиента (набла).
(24. Г)
х) См. сноску на стр. 106.
2) Возможность другого выбора независимых переменных в волновой функции рассмотрена в гл. VII.
§ 24] ОПЕРАТОРЫ КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ 103
Операторы проекций импульса и координат подчиняются определенным правилам перестановки, которые очень облегчают расчеты с ними.
Пусть if (х, у, г) есть волновая функция; тогда имеем
х{РЛ) = * (- М ж) = ~ Шх Ж •
Рх М>) = — Ш (*t) = — ihx Ц- - Щ.
Вычитая вторую строку из первой, находим
(хРх — Рхх) = itty,
т. е.
хРх - РХХ = ih, (24.2)
и аналогичным образом
yPy-Pi,y = M> (24.2')
гРе - Ргг = ih. (24.2")
Эти правила перестановок носят название перестановочных соотношений Гайзенберг а.
Видно, что
хРи-Р»х = 0, (24.3)
уРг-РгУ= 0, (24.3')
гР„-Р11г=0 (24.3")
и т. д.
¦Подобным же путем можно установить более общие перестановочные соотношения для любой функции F (х, у, г) и операторов импульса. Именно,
FPx-PxF = ih (24.4)
FPy-PyF = ih (24.4')
FP,-AF = ih”. (24.4")
Из соотношений (24.2) и (24.4) следует, что не существует состоя* ний, в которых импульс и сопряженная ему координата имеют одновременно определенные значения. В сущности (24.2) и (24.4) в операторной форме выражают уже известное нам соотношение неопределенностей.
Определим теперь собственные значения и собственные функции оператора проекции импульса на какую-нибудь ось (например,
