Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
А п е___
98 изображение механических ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
§ 22. Общий метод вычисления вероятностей результатов измерения
Выше было показано, как находить среднее значение I любой величины, изображаемой оператором L, и как находить возможные значения Lu Ь2, ..., Ьп такой величины. Теперь мы перейдем к вычислению вероятности того, что в некотором состоянии (х) в результате произведенного измерения механической величины L будет обнаружено значение L = Ьп. Основная идея вычисления основывается на принципе суперпозиции состояний. Пусть собственные функции оператора L будут (х). На основании свойства полноты и ортогональности этих функций мы можем представить волновую функцию в виде суперпозиции
Ч>(*) = 2С»,М*)- (22.1)
П
Для сопряженной функции получим
г|>* (*) = ?«(*) (22.1')
т
(где tn пробегает те же значения, что и п).
Подставляя эти выражения для -ф и -ф* в формулу для среднего значения величины L в состоянии я|з, мы найдем
Z = $ i|5* ЬМ* = 2 2 с™с* § Ут dx- (22-2)
П т
Так как г|)„ есть собственная функция оператора L, то
1Лп ~ Lntyn • (22.3)
Пользуясь (22.3) и ортогональностью функций я|$, и i)j„, мы получаем вместо (22.2)
? = 22 CmCnUbmn = 2 °*CnU, п tn п
т. е.
I = 2KI2L„. (22.4)
П
Далее, умножая (22.1) на (22.1') и интегрируя по всему пространству, получаем
1 = \ Ф *1|) dx = 2 2 С™С* S dx = 2 2 СтСпЬт» = 2 I I*
пт т п п
ИЛИ
2|c„|2=i. (22.5)
§,221 ОБЩИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 99
С другой стороны, если через w (L„) обозначить вероятность того, что случайная величина L имеет одно из возможных значений Ln, то по общему определению среднего имеем
I = 2>(L„)Ln (22.6)
П
при условии, что
!>(?„)= 1. (22.7)
Сравнение (22.6) и (22.7) с (22.4) и (22.5) показывает 1), что
w{Ln) = \cn\2. (22.8)
Вероятность найти значение механической величины L равным одному из ее возможных значений Ln равна квадрату модуля амплитуды собственного состояния ф„. Иными словами, эта вероятность определяется интенсивностью |с„|2, с которой собственное состояние представлено в состоянии if.
Для вычисления вероятностей того или иного значения величины, имеющей непрерывный спектр, поступаем совершенно аналогично тому, как было сделано в случае дискретного спектра. Разложим рассматриваемое состояние т|> по собственным функциям о|) (х, L) оператора L:
^(x) = \c(L)^(x, L) dL, (22.9)
при этом (х, L) нормировано к б-функции, а о|) — к единице. Вычислим опять среднее значение L в состоянии ¦ф:
I = ^ г|>* bty dx = ^ с* (L') я|>* (лт, L') dL' L $ с (L) я|> (лг, L) dL dx,
и так как я|з (х, Ь) есть собственная функция, то
Lij) (х, L) = L\|) (х, L);
подставляя это в предыдущее выражение для Ъ и меняя порядок интегрирования, получим
Ъ = \\с* (V) с (L) LdL' dL $ я|>* (х, L') 'ф (х, L) dx
и в силу (21.12)
I = $ $ с* (V) с (L) LdL' dL Ь (V - L).
На основании свойств б-функции отсюда следует, что
Z = \\c(L)\2LdL. (22.10)
*) Для вполне строгого сравнения (22.6) и (22.4) следует рассмотреть такой оператор, который есть функция L и равен 1 при L ~ Ln и 0, если L ф Ln. Среднее от такого оператора равно | сп |2 пб (22.4) и равно w(Ln) по (22.6), откуда и вытекает | сп |2 = w(Ln).
100 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
Подобным же образом получаем
I = $ г|А|> dx = \dx\c* (V) ф* (х, L') dL’ $ с (L) (х, L) dL -
= $ $ с* (Z/) с (L) dL' dL8(L'-L) = l\d (L) |2 dL,
т. е.
$ | с (L) |2 dL = 1. (22.11)
Если вероятность того, что значение непрерывной, случайной величины лежит между L n L + dL, есть w (L) dL, то по общему определению среднего значения
L — \Lw (L) dL (22.12)
при условии
\w(L)dL—\. (22.13)
Сравнивая (22.12) и (22..13) с (22.10) и (22.11), получаем
w (L) dL = \c (L) |2 dL. (22.14)
Таким образом, и в случае непрерывного спектра мы приходим к статистической интерпретации интенсивностей собственных состояний | с (L) |2 *).
Приведенные выше формулы справедливы лишь для чистого ансамбля, характеризуемого одной волновой функцией tj? (х). Для смешанного ансамбля предыдущие формулы должнБ1 быть несколько обобщены.
Пусть мы имеем смешанный ансамбль, образованный из чистых
ансамблей г|>х, г|?2, ..., г|)а, ..., смешанных в пропорции Рх, Р2, ...
...,Ра, ... Тогда, если вероятность найти значение L„ некоторой величины L в чистом ансамбле г|>а есть wa (L„), то полная вероятность найти L = L„ в смешанном ансамбле будет равна
w(Ln) = 2lPawa (L„). (22.15)
а
Подобным же образом для величины, имеющей непрерывный спектр, будем иметь
w(L)dL^^Pawa(L)dL, (22.16)
а '
*) Заметим, что формула (22.14) содержит как частный случай формулу (12.4) для вероятности импульса. Действительно, с(рх, ру, рг) есть амплитуда состояния фр с определенным импульсом, иными словами, — собственного состояния оператора импульса. Поэтому с (рх, рп> р2) и c(L) (22.14) имеют аналогичный смысл. Для перехода от (22.14) к (12.4) достаточно взять в качестве L
три компоненты импульса рх> ру, рг ’и соответственно заменить dL произведением dpxdpydp4.
§ 231 ОДНОВРЕМЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Ю1
причем
Wa (Ln) = I con I2, (L) = I c« (L) I2, (22.17)
