Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 37

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 229 >> Следующая

Эти весьма скромные требования, предъявляемые к решениям уравнения (20.2), ведут к тому, что во многих случаях решения, обладающие указанными свойствами (1, 2, 3), существуют не при
х) См. дополнение VIII.
2) Если волновая функция не исчезает в бесконечности (например, плоская волна де Бройля), то вместо я|) для сходимости интеграла в (20.4) следует брать так называемые «собственные дифференциалы» (см. дополнение III (12) и (12'), где изложено правило нормировки волновых функций, не исчезающих в бесконечности).
$ 201 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 93
всех значениях L, а лишь при некоторых, избранных L = L,, L2, Ls,..., Ln,..., т. е. мы приходим к задаче о нахождении собственных функций и собственных значений уравнения (20.2) на основе естественных требований, вытекающих из условия сохранения числа частиц (20.4).
Вместо «собственные функции уравнения» и «собственные значения параметра уравнения» мы будем обычно говорить о собственных функциях и собственных значениях оператора L, которым определяется вид уравнения (20.2).
Мы будем считать, что никаких значений величины L нельзя наблюдать на опыте, кроме тех, которые являются собственными
А
значениями оператора L. Иными словами, в квантовой механике постулируется: совокупность собственных значений оператора L: Ьъ L2, Lnтождественна с совокупностью всех возможных
результатов измерения механической величины L, изображаемой оператором L. Это и есть как раз тот постулат, посредством которого устанавливается связь между изображением величин операторами и опытом: математика позволяет предсказать набор собственных значений, а опыт позволяет проверить, таков ли он, каким его предсказывает теория.
Соответствующие собственным значениям Ll9 L2,L„,... состояния определяются собственными функциями oj^i, ij)2,..., фл,... В каждом из этих состояний (AL)2 = 0 и величина L имеет только одно из значений Lu L2,..., соответственно. Совокупность воз-
можных значений некоторой величины мы будем называть спектром этой величины.
Спектр может быть дискретным, когда возможны только отдельные значения Lu ?«*•••> ли^о состоящим из
отдельных полос, так что возможные значения L лежат в интервалах: Lx ^ L < L2, L3 < L < L4, вообще Ln < L < Ln+1, либо, наконец, непрерывным, когда все значения L оказываются возможными. Когда возможные значения величины -являются дискретными, то говорят, что величина имеет квантованные значения.
В полуклассической теории Бора отсутствовали методы, позволяющие в общем виде решить вопрос о возможных значениях той или иной величины, в частности, найти квантовые значения этой величины. Современная квантовая механика полностью решает этот вопрос, сводя его к чисто математической задаче нахождения собственных функций и собственных значений операторов, изображающих механические величины.
Из самосопряженности оператора L следует, что наблюдаемые значения L будут вещественны:
Ln = L% или L = L*.
(20.5)
94 ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ [ГЛ. III
В самом деле, собственное значение Ln (или L) можно рассматривать как среднее значение величины I в собственном состоянии г|)„ (или % соответственно). Но среднее значение величины, изображаемой самосопряженным оператором, вещественно (см. (19.2)).
Этим полностью разъясняется значение самосопряженности операторов: самосопряженные операторы изображают вещественные величины.
§ 21. Основные свойства собственных функций
Обратимся к рассмотрению важнейших свойств собственных функций самосопряженных операторов^ Сначала, ограничимся случаем дискретного спектра. Пусть мы имеем какие-либо две функции иг и и2. Эти функции будут называться ортогональными,- если
\u*uidx = 0, (21.1)
где интеграл взят по всей области изменения переменных. Для простоты мы обозначаем все переменные одной буквой х.
Теорема, которую мы докажем, заключается в том, что собственные функции и я|)т самосопряженного оператора L, принадлежащие различным собственным значениям La и Ьт, ортогональны между собой, т. е.
$!>!!№, (21.2)
В силу предположения о том, что и ^ являются собственными функциями, мы можем написать
Ltym ~ Lfjitymi L^n = Lnipn. (21.3)
Из первого уравнения получим комплексно сопряженное:
L*o|4 = M&, (21:3')*
напомним, что согласно (20.5) Lm = L%. Умножив второе из уравнений (21.3) на г|>т, а (21.3') на вычтем второе из первого. Тогда получится
Гт Щп ~ ЪпЬ*Гт = {Ln ~ Lm) Ifc*,,.
Интегрируя это равенство йо всей области изменения переменных, будем иметь
$ Чй hdx- 5L*Vm dx — (Ln — Lm) $ dx.
В силу самосопряженности L левая часть равна нулю (следует в равенстве (18.7), определяющем самосопряженность, положить
8 211 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ 95
•фт = ии 1|>„ = «г), следовательно,
(U-Lm)]rm%dx = 0. (21.4)
Так как Ьп ф Ьт, то отсюда следует справедливость (21.2).
Функции дискретного спектра всегда интегрируются квадратично, поэтому мы можем нормировать их к единице:
(21.5)
Это последнее равенство можно объединить с равенством (21.2) в одно:
(21.6)
где символ Ьта определяется следующим образом:
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed