Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 228

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 222 223 224 225 226 227 < 228 > 229 >> Следующая

Интегрирование по df в формуле (4) ведется фактически только при f <t из-за свойства (3) запаздывающей функции Грина. Это как раз и является отражением принципа причинности в квантовой механике: значение волновой функции гр (х, t) в данный момент времени t определяется воздействиями на квантовомеханическую систему только в предыдущие моменты времени t'<t.
С математической точки зрения выражение (4) представляет собой интегральное уравнение на волновую функцию xj;(x, t)y значение которой равно гМх> 0 Д° включения взаимодействия.
XIII. ФУНКЦИЯ ГРИНА СВОБОДНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 659
Найдем теперь явное выражение для функции Грина g(x, t). Представим ее в виде интеграла Фурье
s (х’ ^ = 72Sjr 5 ^ ^°’ ^ е~цш~кк) d(t>dk.
Далее учтем, что
б(3) (х) б (0 =
1
(2л)*
S
Подставляя эти выражения в (2) и сравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получим
1
g(со, к) =-
/г со —
Поэтому
2т —mt + Жх
(5)
Чтобы фор-
Обратимся сначала к интегрированию по о). Подынтегральное
/е\
выражение в (5) содержит полюс при q) = g)0 = -^-.
мула (5) имела смысл, необходимо определить путь обхода этого полюса в комплексной плоскости о). Выберем этот путь таким образом, чтобы g(x, t) удовлетворяла условию (3).
Легко проверить, что контур, показанный на рис. 103, как раз приводит к нужному результату. Действительно, если /<0, то интеграл по dcо в (5) можно вычислить с помощью теоремы о вычетах, дополняя контур С на рис. 103 полукругом бесконечного большого радиуса в верхней полуплоскости. Такое дополнение можно сделать благодаря множителю е~ш в подынтегральном выражении в (5). При этом полюс со = со0 остается вне контура и вычет равен нулю. Таким образом, g(x, t) = 0 при /<0.
Если же />0, то, обходя полюс со = со0 сверху и замыкая контур бесконечным полукругом в нижней полуплоскости, мы сведем интеграл в (5) по со к вычету в полюсе со = со0. Таким образом, получим
Рис. 103. Комплексная плоскость переменной со и контур интегрирования при t > 0.
Радиус полукруга R = | 0 | оо.
g(x. 0:
М. С г'^'+1кх
dk.
(6)
660
ДОПОЛНЕНИЯ
Интеграл в (6) может быть сведен к интегралам типа ^ eriat2dz =
—оо
= (я/ш)1/* (а>0). Не останавливаясь на подробностях вычислений, приведем окончательный результат
Заметим, что если бы мы обходили полюс ы = щ снизу, то мы получили бы опережающую функцию Грина, соответствующую обращению времени — Эта последняя функция равна нулю при />0. Опережающая функция Грина также отражает причинность, но соответствует другой постановке начальных условий: по заданному значению волновой функции в будущем (t = + со) определить ее в предшествующие моменты времени. Такая необычная постановка вопроса не встречается в практических приложениях квантовой механики.
В качестве макроскопического тела рассмотрим шарик с массой М. Координата центра тяжести шарика пусть будет Q. Его потенциальная энергия U (Q) изображена на рис. 102. В вершине усеченного конуса имеется небольшое углубление, обеспечивающее относительную устойчивость шарика. Достаточно сообщить шарику незначительную (микроскопическую) энергию ДЕ и шарик покатится по плоскости и далее под «откос». Координату микрочастицы обозначим через х, ее массу— через |л. Частицу считаем свободной. Для простоты предполагаем, что взаимодействие микрочастицы и шарика осуществляется только в центре шарика. В этом случае энергию взаимодействия можно записать в виде
где g — некоторая константа взаимодействия.
Преследуя в рассматриваемом примере максимальную простоту, мы приписываем шарику лишь одну степень свободы. При таком упрощении необязательно пользоваться матрицей плотности. Более того, будет удобнее пользоваться волновыми функциями. Положим, что в начальный момент времени / = 0 микрочастица описывается стоячей волной:
XIV. Расчет взаимодействия микрочастицы с макроскопическим телом
W(Q, x) = g6(Q-x),
(1)
Ф* (х) = Фа (х) + Щ (х),
(2)
XIV. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ С МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ТЕЛОМ 661
Здесь k — импульс частицы (постоянную Планка в дальнейшем положим = 1). Сопряженную волновую функцию микрочастицы в конечном состоянии после рассеяния на шарике обозначим через
p~ik х
<*M = 7s- <3')
Волновая функция шарика в начальный момент, когда шарик находился еще в ямке, приближенно описывается функцией нижнего состояния осциллятора
ч,0((2)=_Цв-^> (4)
у па2
где а —амплитуда колебаний шарика в ямке (см. рис. 102). После рассеяния микрочастицы на шарике последний приобретает импульс р\ и так как его масса велика, то его волновая функция г|у (Q) может быть описана с помощью функции действия
S (р\ Q) так, что
rP'(Q) = NpJS(P'’Q). (5)
Причем, пока шарик еще остается на плоской вершине, 5 (р\ Q) = = p'Q. NP' есть нормирующий множитель. Далее за пределами площадки шарик будет скатываться вниз, ускоряться, и импульс р станет растущей функцией Q. Вместе с тем будет уменьшаться
длина волны Ъ = что и показано на рис. 102. Вычислять
подробно функцию S (//, Q), как будет видно из дальнейшего,
нет необходимости. Из сказанного следует, что полная функция
нашей системы в начальный момент времени будет иметь вид
Предыдущая << 1 .. 222 223 224 225 226 227 < 228 > 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed