Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
5 dl = У б,„, „+1+У \ в». „-1, (26)
что дает интеграл (48.7).
Подобным же путем, исходя из (25) и ортогональности, можно вычислить интегралы от любой целой и положительной степени
X. Электрон в однородном магнитном поле
Функция Гамильтона (см. дополнение VI, формулу (6)) при сделанном нами выборе вектора-потенциала А (57.1) имеет вид
Отсюда
dpx дН л dp у дН с-ЗгГ ( , с ^
XI. КООРДИНАТЫ ЯКОБИ 655
Следовательно,
Рх = const = рпк, pz = const = Рг, (4)
d2y ( 0 | е \ ,_ч
»-ЩГ=--1!г[р* + Т^У)- (5)
Полагая
(6)
получим
d2Y
—— = — едУ, Y = a sin co0/ + b cos co0/, (7)
r/ = asin©0/ + 6 cos(o0/— (8)
и, стало быть,
Далее,
И'Ж = Р2 + у ^# = P2+f ^(asino30t + bcosa)0t--^r'j, (9)
х = — a cos со0/ + 6 sin co0tf +x0, (10)
т. е, движение происходит по кругу
(л:-л-0 )2 +(у +J^) =a2 + b2
ср” г------
с центром в х = х0, у =------^ и с радиусом R = |/ а2 -f- Ь2. Энер-
гия движения не зависит от pj —эта величина определяет положение центра круга.
Полная параллельность этого классического расчета с приведенным в § 57 квантовым очевидна.
XI. Координаты Якоби
Согласно формулам преобразования (104.3) имеем
*<* Ш— '¦ *-'+¦= %-«• *>/+'•
причем
Му=?т* (2)
k = \
есть масса первых / частиц. С помощью (1) и (2) находим
656 ДОПОЛНЕНИЯ
т. е. мы получаем формулу (104.9), приведенную в основном тексте. Сходным же образом вычисляется оператор кинетической энергии. Достаточно вычислить оператор
N N N N ^ ^
y_L±t= у _!_ у у /4)
Zd rnk дх\ Zd rnk h z*i dl-dl;, dx. dx. * ' '
k = i k = i /= l /' = l J 1 к n
С помощью (1) и (2) находим
TV f N N N л
д _ 'V 1 I V m~k д2ф ^ ^ тк д2ф ( d2\|?
-,h_ V JLJ V V ml d v о Y mk dv 1 ° v I
khnlk \ r A ,h
N , N N . а W 4
_ V 1 o VV m'k д ф Q x mk <Гф I ~khmki\h
N r N
-L V 1 ( Y ml , G>2t ]
kh щ ih dl* f
(5)
Первая сумма no k в (5), как легко видеть (путем изменения порядка суммирования по к, / и /'), равна нулю. Вторая сумма преобразуется следующим образом:
N ( N у. N j
2 1 I VI тк <Э2Ф | дЦ- L V V тк I
тк \ L т щ щ_Л L L т ак +
* = 1 (i = k 1 ' ) /= 1 *= 1 ' '
N—1 N N—l
у __1_______С^ _ , У 1 гЗ^
*¦>. ткух ди ~ м М. Щ + 2л т дЦ ~
R. = 1 1=1 } = 1
N- 1
м
дг'Р , V / 1 I 1 \ ,fi.
щ+ L VMi+4^)W ( }
/ = 1
т. е.
N— 1
1~ч | 1 d2i|) . V 1 д2У tn\
D*4- ~M dl% + Ъ цу Щ ’ (7)
/ = 1
где (Ху есть приведенная масса центра тяжести первых / частиц
и (/+0'Й ( ^ J
lv” ~ + ^
Имея в виду, что
D'^ = (Dx-\-Dy-\-Dz)‘^, (9)
из (7) получаем (104.4)
N — 1
2 (10)
/=1 1
XII. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РАССЕЯННОЙ ВОЛНЫ 657
XII. Причинность и аналитические свойства рассеянной волны
Рассмотрим простейший случай, который поясняет связь между причинностью и возможностью выхода в комплексную плоскость ?
переменной со = (со —частота, Е — энергия).
Предположим, что некоторое рассеянное поле ty(t) зависит от источника Q (t) согласно соотношению
-|-оо
я|>(/)= ^ SV(t-t’)Q(f)dt'. (1)
—ОО
Изменим несколько источник в окрестности какой-либо точки Г так, что вариация
6Q (/) = еб (t — C), (2)
где е —некоторая величина, определяющая это изменение. Функциональная производная г|з (/) по Q (Г) вычисляется следующим образом:
—j~co
= 1 im I $ ЙГ(*-*') [Q (О + б Q (П - Q (О] dt'. (3)
—ОО
Подставляя (2) в (3), получим
(4)
6Q (/')
Для выполнения принципа причинности, необходимо, чтобы зависела от силы источника Q(t') только в моменты времени, предшествующие t. Иными словами, должно иметь место условие
ftp (О
6Q (П
= 0 для f>/, (5)
откуда следует, что Ж (/ — /') должно равняться нулю при t’>t. Поэтому
ОО
Ч>(f)=\3V(f)Q(t-f)df. (6)
о
В частности, для источника Q(t), сосредоточенного в точке / = 0, получим
t> 0,
ib(0 = l W (7)
\ 0 t< 0. ' ’
Найдем компоненту Фурье от
-j-ОО оо
ф(<о)= J e‘*ty(f)dt = \eiat3V(t)dt. (8)
658
ДОПОЛНЕНИЯ
Отсюда видно, что если рассматривать со как комплексную переменную, то интеграл (8) сходится при lni(o>0, и, следовательно, ^(со) есть аналитическая функция в верхней полуплоскости. Тем самым и доказывается связь между причинностью и аналитическими свойствами рассеянной волны. Эти же свойства можно продемонстрировать, используя запаздывающую функцию Грина уравнения Шредингера (см. дополнение XIII).
ХШ. Функция Грина свободного уравнения Шредингера
Уравнение Шредингера с потенциалом V (х, t)\
шжС)
может быть записано в форме интегрального уравнения. Для этой цели рассмотрим вначале функцию Грина g(x, t) свободного уравнения Шредингера, которая определяется следующим образом:
(^•|- + -|rV2)^(x- 0 = 6(3)(х)6(0. (2)
Чтобы однозначно задать решение этого неоднородного уравнения, наложим дополнительные требования на искомую функцию g(x, /). Потребуем, чтобы
g(x, /) = 0 при /<0. (3)
Такая функция Грина называется запаздывающей.
С помощью g-(x, /) решение полного уравнения Шредингера (1) можно представить в следующем виде:
г))(х, 0 = ^0(х, t) + \g(x-x’, t-f)V{x', f)ip(x', f)dx'df, (4)
где г|?0 (х, t) — решение свободного уравнения Шредингера (уравнение (1) с V = 0). Физический смысл aj?0 (х, t) легко понять, если рассмотреть потенциал V (х, /), который «включается» только после некоторого фиксированного момента времени t = t0. Тогда из уравнения (4) следует, что при t<.t0 г|)(х, /) = г|)0(х, /)» т- е. я|50(х, /) —это та волновая функция, которой обладала система до включения взаимодействия.
