Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Нам нужно найти конечные и непрерывные решения этого урав-
нения.
Исследуем асимптотическое поведение решения (1), т. е. для ? = ±оо. Эти точки одновременно являются особыми точками уравнения. Для этого положим
ф(?) = ет>о(Б). (2)
Подставляя (2) в (1), находим
о* + 2/V + (/" + р + ^ -12) у = 0. (3)
!) Ср. В. П а у л и, Общие принципы волновой механики, Гостехиздат, 1947, § 6.
IX. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 051
Чтобы функция efCi) явилась фактором, определяющим асимптотическое поведение -ф (g), нужно выбрать / так, чтобы коэффициент /" + /'2 —?2 в особых точках | = ±оо был регулярным, т. е. чтобы член |2 уничтожался. Это дает
Ш=±2^ (4)
Стало быть, решение уравнения (1) можно представить в виде
Ф (D-c.e^v! (t) + c2e+'^v2 ф. (5)
Мы интересуемся конечными решениями ф, поэтому берем частное решение с2 = 0, т- е- берем ф в виде
= (6)
Для функции v будем теперь иметь уравнение
v" — 2\vr + (К — 1) v = 0. (7)
Точка ?—-0 — регулярная. Поэтому v можно искать в виде ряда
Тейлора
00
v = 2 а&к- (8)
к = О
Подставляя (8) в (7) и собирая одинаковые степени ?, получим рекуррентную формулу для определения коэффициентов ак:
(k + 2)(k+l) ак,г - 2kah + (Л - 1) а* = 0, (9)
откуда
2k —(к—1) /1Ги
Qftf2 (fe + 2)(fe+l) *’ ' '
Если ряд (8) оборвется на члене номера п, то v будет много-
членом п-й степени. Тогда решение (6) будет конечным, непрерывным и однозначным во всей области — оо <?< + оо. Такие решения и будут собственными функциями уравнения (1). Из (10)
следует, что ряд может оборваться лишь при тех значениях Я,
которые определяются формулой
Х = 2п+1, п = О, 1, 2, ... (И)
Это и есть формула (47.6), приведенная в тексте.
Многочлен v (Е) с коэффициентами, определяемыми формулой (10) для X = 2лг + 1, носит название многочлена Чебышева — Эрмита.
Его обозначают обычно через Нп (g), и он удовлетворяет уравнению (7) при А = 2/г+1, т. е. уравнению
Нп — 2%Нп-{-2пНп — 0. (12)
652 ДОПОЛНЕНИЯ
Легко проверить, что этому уравнению удовлетворяет многочлен
dl
Поэтому Нп только множителем отличается от этого последнего многочлена. Следуя обычному определению, мы положим
Нп(1) = (-\)пе^-~(е^). (13)
(Нетрудно убедиться, что многочлен (13) имеет коэффициенты, удовлетворяющие рекуррентной формуле (10) при Я = 2я+1.) Приведенный в тексте (47.8) многочлен Нп отличается от (13)
множителем V2пп\ У я, который выбран так, что функция (?) нормирована к 1. Именно, в тексте мы даем нормированный полином Чебышева — Эрмита
Нп (В = И*). (14)
У 2"n! Vn dl'1
Собственное решение уравнения (1), принадлежащее собственному значению Л = 2п+1, может быть теперь записано в виде
Г(1) = е~^Нп(1)у (15)
где под Нп (|) будем понимать нормированный полином Чебышева—Эрмита (14).
Функции ^„(Е) ввиду самосопряженности оператора, определяющего уравнение (1), должны быть ортогональными. В этом легко убеждаемся непосредственно. В самом деле, для двух функций я|)л и ijv имеем
-Ц^-f (2л + 1-|*)1р» = 0,
—щг + (2«' + 1 — I2) = &
Умножая первое уравнение на i|v, а второе на i]j„, вычитая и интегрируя по получаем
-f-СО 4" СО
I {^п’= — jj tMvdg.
— оо — со
Левая часть есть +л°°
— 00
т. е.
4-00
= 0,
— оо
4- со
$ dl = 0.
IX. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 653
С помощью интегрирования по частям можно также убедиться, что
оо
5 МД = 1;
— оо
следовательно,
4- 00
^ = ««»', (16)
— 00
т. е. функции образуют систему ортогональных и нормированных функций. Любая функция гр(^) (с несущественными для нас ограничениями) может быть представлена в виде ряда
оо
1>(Б)= Ц с„ЫБ), (17)
п — О
где
-f- 00
^ Ч>(?)«)4. (18)
— оо
Обратимся теперь к свойствам ненормированных многочленов
dn
Чебышева —Эрмита (13). По формуле Коши производная -т^е~^г может быть представлена в виде интеграла по замкнутому контуру
JlL. e-l* ^ JLLC —tl—dz (19)
dln 2ni J (2-y«+1 U '
причем контур обходит точку g. Поэтому из (13) имеем
Полагая z = % — t, получим
. . » e-t* + 2ft
(2°)
(контур обходит вокруг ^ = 0). Из последней формулы следует, что
ОО
е-^ = 2 ~Ha^)in, (21)
п = О
т. е. erf*+2tt есть производящая функция для Нп(1).
Производящая функция (21) позволяет установить важное рекуррентное соотношение между полиномами Чебышева— Эрмита. Для этого дифференцируем (21) по t\
оо
e-Wi(2| — 20= 2 lF=WHn{l)tn~K
П — 1
654
ДОПОЛНЕНИЯ
т. е.
СО ОО 00
2 § Нп т tn - 2 ТГН« ®/л+1 = 2 огЬг Нп ® 1"~К (22)
п — О п = 0 п = 1
Собирая коэффициенты при одинаковых степенях /, получаем
2iHn(t) = Hn,1(l) + 2nHn„1(t). (23)
Умножая эту формулу на ? и применяя еще раз (23), получим
2\Щп (?) = (2n+l)Ha (?) + -*- Нп+2 (|) + 2п (п—])Нп 2 (?). (24)
Умножим эти равенства на е~& и заменим в них ненормированные полиномы Эрмита на нормированные (для чего в (23) и в (24)
каждый полином Нт умножаем и делим на V2тт\У п). После сокращения на общие множители получим рекуррентные соотношения для волновых функций (15). Именно,
(ю - У Ч’и+1 т+У-%-ъ„л (D ¦ (25)
Отсюда получаем интеграл, встречающийся в §§ 47, 48. Умножая (25) на ^m(?), интегрируя по Н и принимая во внимание ортогональность и нормировку функций (16), получим
