Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
sin б (96 получаем
sin 0 —\-----------------------------------------— l(sin 0 —\ 0 =-2 . — (j/sin 0)
дб/ sin 0 д0\ дб/ У sin 0 дб
= - 1 -4=1 (/sin 0) = (13)
г2 К sm б дб
и, наконец, для третьей скобки совсем просто получается dy __ ih д ^(ф)
648
ДОПОЛНЕНИЯ
Переходя по формуле (8) к ковариантным компонентам Рг, Рв, Рф, мы получаем на основании (9), (12), (13) и (14)
^=-г*4-
(15)
Вычислим теперь вторую группу квантовых уравнений Гамильтона
^=[я, РХ ^=[я, РХ ^=[я, />ф]. (16)
Для этого целесообразно представить (10) в виде
<17>
где УЙ2 — оператор квадрата момента импульса, а Рг — первый из операторов (15). Несложное вычисление скобок Пуассона (16) с помощью (17) дает
dPe _ ctg е dt — 2цг> dr ’ dt ц/-2 sin 0
dp<р ay
(18)
dcp *
Из этих трех уравнений два (для Рг и Рф) совпадают по форме с соответствующими классическими уравнениями Гамильтона.
/г2 „ /г 2
Уравнение для Я0 вместо содержит Рф —4-. Появление — связано с существованием в квантовой механике устойчивых состояний с AI2 = 0, в конечном счете с нулевой энергией квантовых систем.
VIII. Требования к волновой функции
При формулировке требований к ф-фуикции естественней всего исходить из свойств гамильтониана Я, поскольку именно этим оператором определяется физическая природа системы. Из уравнения Шредингера для ф и ф* нетрудно получить следующее равенство:
^ dv = ~ ^*H^dv-~ г|)Я\|)* dv= — ^ div J dv, (1)
где выражение для плотности тока J совпадает с полученным в § 29. С другой стороны, условие самосопряженности для оператора Й имеет вид
$ р dv = $ dv, (2)
VIII. ТРЕБОВАНИЯ К ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ
649
и стало быть, для того класса волновых функций, для которого оно выполнено, мы должны иметь
~ ^ dv = — ^ div J dv = — ^ JNds = 0. (3)
Обратимся сначала к случаю одного измерения — оо <.*:¦< сю. Имеем dv = dxy div J = Если в некоторой точке х = х± нарушается непрерывность потенциальной энергии U (х) (скажем, она претерпевает скачок), то при интегрировании в (3) мы должны исключить эту точку. Выполняя интегрирование, получим
J, (+oo)-Jx (хг + 0) + Jx(x 1 - 0) - Jx (— оо) - 0. (4)
Плотность тока Jx(±oo) должна равняться нулю (противоположный случай означал бы, что волновые функции в бесконечности не исчезают и все интегралы были бы расходящимися); заметим, что при рассмотрении самосопряженности собственные функции %, операторов с непрерывным спектром L, не исчезающие в бесконечности, должны быть заменены исчезающими в бесконечности собственными дифференциалами (ср. дополнение III).
Таким образом, из (4) следует непрерывность плотности тока
Jx (*i + 0) == Jx (*i — 0). (5)
Подставляя сюда значение Jx из (29.5), получим
т ш\
dx)Xl + о [dx )х-0’
+0 = (ф)*!—-О, (6')
т. е. непрерывность волновой функции и ее первой производной.
Предположим теперь задачу трехмерной и положим, что в точке г = 0 оператор Гамильтона имеет особую точку. В этой точке теорема Гаусса (3) опять-таки не будет применима, и мы должны исключить ее из объема интегрирования, окружив ее сферой малого радиуса R. Тогда интеграл по поверхности в формуле (3) разобьется на два: по бесконечно удаленной поверхности, в пределе охватывающей весь объем, и по поверхности шара радиуса R-* 0:
lim R2\JRdQ+ \jNds=^ 0, (7)
причем в первом интеграле мы выразили элемент поверхности шара в виде ds = R2dQ, где dQ — элемент телесного угла. Ввиду исчезновения в бесконечности волновых функций (пли их собственных дифференциалов) второй интеграл равен нулю. Подстав-
т ih ( д\Ь* . * dtfc \ . .
ляя в первый интеграл ^/? == gjl ^ и полагая “Ф = и!г >
650
ДОПОЛНЕНИЯ
где и регулярно при 0, получим
R2 С f да* ±ди\ А /оч
hni^j ^ [и -gjr — u gf)r = R -0, (8)
что возможно лишь в том случае, если а<1. Отсюда мы видим, что волновые функции во всяком случае не могут обращаться в бесконечность быстрее, нежели 1 /гг/, а<1.
Неоднозначность в волновой функции может возникнуть в том случае, когда мы имеем дело с циклическими координатами, например с углом ф, отсчитываемым вокруг некоторой оси. Тогда угол ф и угол ф + 2л означают одно и то же положение в пространстве, поэтому вероятность как величина наблюдаемая, обязана быть однозначной функцией угла ф. A priori этого нельзя сказать про саму г|>функцию. Однако на основании свойств сферических функций и уравнения непрерывности (1) путями, сходными с изложенными в этом дополнении, можно показать, что г|>функ-ция должна быть однозначна (иначе самосопряженность оператора Н не может быть обеспечена)1). Таким образом, естественные условия, предъявляемые к волновой функции на основе требования сохранения числа частиц (3), в конечном счете сводятся к требованию выполнения условия самосопряженности оператора (2).
Будут ли при этом выполнены условия самосопряженности для других операторов L — будет зависеть от их природы, поскольку класс допущенных волновых функций уже определен оператором Н и допущенными в нем нарушениями непрерывности.
IX. Решение уравнения для осциллятора
Задача о нахождении квантовых уровней осциллятора приводит к уравнению
г|/' + (Я~т = 0. (1)
