Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ж = &[[1>*~с А*)ТГ + (р1~7 A“/~d +
+ ("*-' А‘)ж-'я:}- <9'>
Из (7") получаем
dt ~ ]х \Их ~ 7 /_1-V ’ d/ “ ix \гу с ~У) ’ = d/ J!
аг = L(p,-LAt). (10')
Из (10') следует, что
dpx_ d^x . е dA± ,,
dt dt* ' с dt ' K '
Так как значение вектора-потенциала Ах берется в точке, где
VI. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬ-ТОНА 645
находится заряд в, то полная производная па времени от Ах
будет
dAx = дА* , дДд. dx дАх ciy dA^dz .
dt dt ~т~ dx dt^ ду dt "г dz dt'
Подставляя в (9') значения — [ру А^у [pz — jA^
из (10') и значение из (И) и пользуясь (12), найдем d2x е дАх dV е Г dy/дАу дАх\ dz fdAz дЛдЛ1 ,
= — Т~дГ~ едх^т[ш\дГ~ ~шг) М \дх ~ ~дг)\'
Отсюда на основании формул (9) и (10), связывающих поле и потенциалы, находим
= «П
т. е. первое из уравнений (8'). Подобным же образом получаются и остальные два уравнения (8") и (8'").
Таким образом, уравнения Гамильтона (7') и (7'\ вытекаю* щие из функции Гамильтона (6'), эквивалентны уравнениям Ньютона (8).
Потенциалы А и К могут быть выбираемы произвольно, лишь бы по (9) и (10) получалось нужное электромагнитное ноле. Нели мы вместо А и V возьмем
А' = А +V/, V' = V--c§, (14)
где / — произвольная функция координат и времени, то &' = &,
— 3$. Подставляя в функцию Гамильтона (6') А' и V' вместо А и Vy мы, очевидно, придем к уравнению движения (13), если там под А и V понимать А' и V'. Пользуясь (14), убеждаемся, что новый выбор потенциалов не меняет уравнений (8'), (8"), (8'"). Это свойство уравнений Гамильтона называют электромагнитной инвариантностью.
Заметим, что, в отличие от уравнений движения (8'), (8"), (8'"), функция Гамильтона Н меняется при преобразовании (14). Например, движение в однородном постоянном электрическом поле направленном по оси ОХ, может быть описано потенциалами А = 0, V = — ёх. Вместо этих потенциалов можно взять по (14) другие потенциалы, например, Ах = — Sty A'y = A'z — 0, К' = 0. Предоставляем читателю самому убедиться в том, что в обоих случаях мы получаем уравнение Ньютона для равноускоренного движения, но при первом выборе потенциалов функция Гамильтона имеет смысл полной энергии частицы, а при втором она равна кинетической энергии частицы.
646 ДОПОЛНЕНИЯ
VII. Уравнение Шредингера и уравнения движения в криволинейной системе координат
В § 27 мы объясняли причину, по которой декартова система координат в квантовой механике занимает особое положение среди всех других возможных систем: в декартовой системе координат измерение проекций импульса рХу plJy pz дает нам также значение кинетической энергии. Поэтому исходные уравнения квантовой механики пишут обычно в декартовой системе координат. Уравнение Шредингера легко может быть написано и в любой криволинейной системе координат qu q2, q3, поскольку оно дано в декартовой системе. В этой последней оно имеет вид
ih ^(Х’ l't z' l) = — 2jiV2^ (x’ У’ г' *) + и(х, y> z. 0 Z, t) (1)
(простоты ради, мы пишем уравнение для одной частицы и в отсутствие магнитного поля1). При переходе от декартовых координат к криволинейным яр и U будут функциями от qu q2, q3. Всё дело сводится к преобразованию оператора Лапласа V2. Пусть квадрат линейного элемента ds2 в криволинейной системе координат q есть
ds2 - dx2 + dy2 + dz2 = У] gsk dqs dqk, (2)
S, k= I
где gsk — компоненты метрического тензора. Далее, пусть D2 = = !lgs*|l есть определитель матрицы gsk. Введем еще элементы
обратной матрицы gsky так что
&«*** = «1 65 = 1, k = s, 6*= О, k^s. (3)
(В (3) по а суммируют от 1 до 3.)
Тогда оператор V2 в этих обозначениях запишется в виде2)
= i (?&“?)) №
(где суммировано по s и к), и соответственно этому уравнение
Шредингера получает вид
•* Яг, Яз, 0 _ _ 1 /д_ (D sk д$(Яь Яг, Яз, 0\\ i
dt 2ц D \dqs \ * dqk )) _Г
+ U(qi, <7г, Яз, q2, q3, t). (5)
Оператор Гамильтона будет
'>• <6»
*) Общий случай см. В Паули, Общие принципы волновой механики, Гостехиздат, 1947.
2) См., например, Ф. М. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической
физики, т. 1, ИЛ. 1958, гл. 1.
VII. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙН. СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 647
Беря скобку Пуассона
dq^/dt = [н, q$\, (7)
мы получим контрвариантную компоненту скорости dq{s)/dt. Умножая на массу |i, мы получим такую же компоненту импульса P{s). Чтобы получить ковариантную компоненту импульса PS9 преобразуем P{s) по формуле перехода от контрвариантных к ковари-антным компонентам
Ps = gskP(k). (8)
В качестве примера рассмотрим полярную систему координат г, 9, ср. В этом случае
ds2 = dr2 + г2 dQ2 + г2 sin2 б dy2, gn = 1, g21 = Л ga3 = r2 sin2 0, (9)
gn=U g2- = , g33 = . D = r2 sin 0, (9')
гамильтониан будет равен
Ш г д* . 2 д , 1 1 д ( . 0 д\ . 1 521 , Т1 /1т
Н = - 2ji [ал + Т д? + 7- iiHTдв (sin 6 Ш) + a^J + и- (10)
Найдем первую группу уравнений (операторы скорости). Со-
гласно (7) имеем
И. m=№' 01’ ф1* (")
Вычислим сначала первую скобку Пуассона. Для этого заметим, что
/д* , 2 д\ (д* 2 д\ 0 1 (д \ г (агз + г дг) г дг)г~ г (аг г)‘
В силу этого первая скобка Пуассона (11) дает
(12>
Для второй скобки Пуассона из перестановки
g J__d /_;_0 д\ 1 д/_:_0д\л 2 а
