Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Блохинцев Д.И. -> "Основы квантовой механики" -> 223

Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики — Наука, 1976. — 664 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoymehaniki1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 217 218 219 220 221 222 < 223 > 224 225 226 227 228 .. 229 >> Следующая

V. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ У/т (0, ф) 641
Полагая
k + \m\ = l, (18)
мы получаем
X = l(l+1), / = 0, 1, 2, 3, (19)
|m | = 0, 1, 2, /. (20)
Можно доказать, что никаких других собственных функций уравнения (1) не существует1).
Решение ©, принадлежащее характеристическим числам I и т, мы обозначим через
e(?) = Pim|(?), ? = cos0. (21)
Если уравнение (15) дифференцировать по то получается уравнение, в котором \т \ заменяется на |т|+1- Поэтому если реше-
ние для т = 0 обозначать через Я/(?), то
, , :__: л\ т |
^m|(5) = (i-52)2 (22)
Pi (g) есть многочлен степени / и называется многочленом (или полиномом) Лежандра. Коэффициент при нем обычно нормируется так, что
Л0) = 1. (23)
Из (16) при | m | = 0 получаем
_ у (у +!) — /(/+1) ь /24)
^v+2- (v + 2)(v+l) [Zh)
Отсюда мы видим, что если взять Ь0ФО> 6i = 0, то многочлен Pi будет содержать лишь четные степени ?, если же Ь0 = 0, ЬгФ%, то только нечетные. Выбирая Ь0 (при четном I) или Ьг (при нечетном /) так, чтобы соблюдалось (23), мы можем вычислить
все коэффициенты в многочлене Рг. Можно проверить, что полу-
чающийся многочлен может быть представлен формулой
/>?(|) = />i(|) = 2iTTi|i(l2- !)'• (25)
Имея в виду (2), (4) и (21), мы получаем собственную функцию
уравнения (1) в виде
Уш(0, ф) = NimP''im! (cos б) e‘m(p, (26)
где Nim — нормировочный множитель. Вычисление этого нормировочного множителя, которое мы опускаем2), приводит к
х) См., например, А. Н. Тихонов, А. А. С а м а р с к и й, Уравнения математической физики, «Наука», 1966, стр. 670.
2) См., например, Л. Шифф, ^вантовая механика, ИЛ. 1957, § 14.
642
ДОПОЛНЕНИЯ
значению
N __ -ж Г(I—I m_\)[(~i+ 1)
V (/ +1 m))! 4л 4 ' '
Функции (26) образуют полную систему ортогональных функций на поверхности сферы 0, ср. Поэтому любая интегрируемая квадратично и однозначная функция ^(9, ср) может быть представлена в виде ряда
ОО 4-I
Ф (0> ф)= 2 2 скпУш (0, ф), (28)
1 = 0 т = — I
где
я 2л
Ст = И ^ (0> f) (д> Ф) sin 0 d(P- (29)
О о
В заключение приведем результаты применения к сферическим функциям некоторых операторов, встречающихся в приложениях:
а) умножение на cos0 = ? или sin0 = ]/l— I2:
tу "|/~(/ + т + О {I — т + 0 л/ 1 1 /~ (I-\-га) (I — т) л/ .«лч
5* ш у (2/+1)(2/ + 3) i+hт-Г у (2/-f-1) (2/ — 1) l-i,т'
l/l t2 у _/ 1 /~(^~т+ О (I — W + 2) у .
К 1-6 J'/m-j- J/ (2/+1)(2/ + 3) +
] л Г ~Ьт) ~1~ т 0 у \ Pitp /о 1 \
+ У (2/+ 1) (2/— 1) * (31)
б) действие операторов проекций вращательного момента Мх, My,
MzYlm = 1imYlm, (32)
f/Wv + /Ж,) Y [т~ — h Vd-m) (l + m+l) Y,,m+i< (33)
(Mx - iM ,) Ylm = — H V(l + m) (l-m+l) Yt, m-L (34)
Доказательство этих формул приведено в специальных курсах сферических функций *).
VI. Уравнения Гамильтона
Пусть qu q2, ..., qs% ..., qf суть обобщенные координаты, определяющие конфигурацию системы, а ръ р2, ..., pSy ..., pf — соответствующие обобщенные сопряженные импульсы. Функция Гамильтона И есть функция этих координат и импульсов и,
*) А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров, Основы теории специальных функций, «Наука», 1974, § 15; Г. Беге, Э. Со л пите р, Квантовая механику
атомов с одним и двумя электронами, Физматгиз, 1960, стр. 539,
VI. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 64З
вообще говоря, времени t. Уравнения Гамильтона, как известно, имеют вид
— Щ = № /П
dt dqsy dt dps' ' '
Производная по времени от любой функции F обобщенных координат, импульсов и времени будет
dI_ = д±_ I У dL 4- X PL dps_ /9ч
dt dt ‘ Zd dqs dt ' dps dt ' '
s — 1 s — 1
Пользуясь уравнениями Гамильтона (1), мы можем переписать (2)
в виде
ш = + (3)
dt dt
где [Н, F] равно
f
i**-2 <4>
s = 1
и называется скобкой Пуассона.
Очевидно, что сами уравнения Гамильтона (1) могут быть
также записаны с помощью скобок Пуассона
¦5f = [H,Ps], -% = [Н, qs], s=l,2,...,/ (5)
(для этого полагаем в (3) F = ps и F = qs). Как мы увидим (§ 31), в совершенно аналогичном виде пишутся уравнения движения в квантовой механике. В частном случае декартовой системы координат и одной частицы, движущейся в поле сил, выводимых из силовой функции U (х, у, г, /), имеем
H = P*+^Pi + U(x, У, г, /) (6)
(qi^x, q2 = г/, q3 = z, pi = px, P2 = PV> Рз = Р^)- На основании (5)
получаем отсюда
dPx — \fJ р 1^__дИ = _ ди dx^\и х] = = Рл п\
дх дх' dt [/7’ дрх ix V)
и аналогичные уравнения для остальных двух координат и импульсов. Из (7) находим
d-x dU /оч
VW=~Tx'
т. е. уравнение Ньютона.
В случае движения заряженной частицы с зарядом е и массой в электромагнитном поле, описываемом скалярным
644
ДОПОЛНЕНИЯ
потенциалом V и векторным А, так что
*__Vy_A« (9)
3€ = rot А, (10)
где ^ — напряженность электрического поля, а Э€ — магнитного, функция Гамильтона пишется в виде
k{<‘-7Xf+eV- <6')
Докажем, что вытекающие из этой функции уравнения Гамильтона
dpx __ __дн dpy___dH^ dpz
dt дх 1 dt ду у dt дг ’ ' '
dx _дН_ dy____дН_ dz дН_
dt дрх ’ dt дру ’ dt др2 ' '
эквивалентны уравнениям Ньютона для той же частицы, движу-
щейся под действием силы Лоренца:
-?«*¦«)]¦ <8-»
<8-’
Подставляя в (7') и (7") Н из (6') и производя дифференцирование, получим
Предыдущая << 1 .. 217 218 219 220 221 222 < 223 > 224 225 226 227 228 .. 229 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed